Question

【題目】有如下一串二次根式：

①；②；③；④…

(1)求①，②，③，④的值；

(2)仿照①，②，③，④，寫出第⑤個(gè)二次根式；

(3)仿照①，②，③，④，⑤，寫出第n個(gè)二次根式，并化簡．

Answer 1

【答案】（1）3；15；35；63；（2）99；（3）(2n－1)(2n＋1)．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)平方差公式，把每個(gè)式子中的被開方數(shù)分解為兩個(gè)因數(shù)的積，再按照進(jìn)行化簡即可；

（2）觀察、分析（1）中四個(gè)式子化簡變形的過程可知，這些式子變形后最后所得的二次根式的被開方數(shù)是： ，其中為正整數(shù)，將這個(gè)式子化為兩個(gè)式子的平方差的形式為： ，由此即可寫出第5個(gè)式子，再化簡即可；

（3）由（2）可知第n個(gè)式子的被開方數(shù)為： ，由此即可寫出第n個(gè)式子，再按前面的方法化簡即可.

試題解析：

（1）①；

②；

③；

④；

（2）觀察（1）中式子可得：第5個(gè)式子為： ，化簡得：

；

（3）觀察、分析前面5個(gè)式子可知，上述二次根式化簡后所得的二次根式的被開方數(shù)可表示為： ，

∵，

∴第n個(gè)式子為： ，化簡得：

.