Question

已知直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C．

（1）試確定直線BC的解析式．

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CBA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與C、A重合），動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)△APQ的面積為S，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣4﹐0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0﹐4﹚，

∵OA=4OB=4，

∴∠BAO=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵OC=OA=4，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚，

設(shè)直線BC解析式為y=kx﹢b，

，

∴，

∴直線BC的解析式為y=﹣；（2分）

﹙2﹚當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．

∵，

∴，

∴QH=t

∴S_△APQ=AP•QH=t•t=t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）

同理可得S_△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，

（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）