Question

已知經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t取值范圍；
（3）將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，求出矩形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可以知道A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)已知，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．進(jìn)而求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線MB的解析式，設(shè)NQ的長(zhǎng)為t，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)是t，把x=t代入解析式就可以求出橫坐標(biāo)，四邊形NQAC的面積s=S_△AOC+S_梯形OQNC，可以用t分別表示出△AOC和梯形OQNC的面積，因而就得到s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）可以補(bǔ)成的矩形有兩種情況，即圖1，的情況，易得未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（-1，2）；
以點(diǎn)A、點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上，如下圖2，易證Rt△HOC∽R(shí)t△COA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)直線平行的關(guān)系利用待定系數(shù)法就可以求出直線AF與直線AC的解析式，兩函數(shù)的交點(diǎn)，就是滿足條件的點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為
y=a（x+1）（x-2），（1分）
把點(diǎn)C（0，2）坐標(biāo)代入其中，求得a=-1，
y=-（x+1）（x-2）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：
y=-x²+x+2（3分）
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（

1

2

，

9

4

）；（4分）
[也可設(shè)為一般式y(tǒng)=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解出]

（2）設(shè)線段BM所在直線的解析式為：y=kx+b，（5分）
分別把B（2，0）、M（

1

2

，

9

4

）坐標(biāo)代入其中，
解得k=-

3

2

，b=3，
∴y=-

3

2

x+3．
若N的坐標(biāo)為（x，t），則得t=-

3

2

x+3，
解得x=2-

2

3

t，（6分）
由圖形可知：s=S_△AOC+S_梯形OQNC（7分）
=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）（2-

2

3

t）
化簡(jiǎn)整理得s=-

1

3

t²+

1

3

t+3，（8分）
其中0＜t＜

9

4

；（9分）

（3）以點(diǎn)O、點(diǎn)A（或點(diǎn)O、點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，
第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對(duì)邊上，
如下圖1，此時(shí)易得未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（-1，2）；（10分）
以點(diǎn)A、點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)（即點(diǎn)O）
落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上，如下圖2，此時(shí)
未知頂點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F．（11分）
它們的坐標(biāo)求解如下：
∵ACEF為矩形，
∴∠ACE為直角，延長(zhǎng)CE交x軸于點(diǎn)H，
則易得Rt△HOC∽R(shí)t△COA，
∴

OH

OC

=

OC

OA

，求得OH=4，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)H（4，0）．可求得線段CH所在直線的
解析式為：y=-

1

2

x+2；（12分）
線段AC所在直線的
解析式為：y=2x+2，線段EF所在直線過(guò)原點(diǎn)且與
線段AC所在直線平行，從而可得線段EF所在直線的
解析式為：y=2x；（13分）
線段AF所在直線與直線CH平行，
設(shè)直線AF的解析式為：y=-

1

2

x+m，
把A（-1，0）坐標(biāo)代入，求得m=-

1

2

，
∴直線AF為：y=-

1

2

x-

1

2

．
∵點(diǎn)E是直線CH與直線EF的交點(diǎn)；
點(diǎn)F是直線AF與直線EF的交點(diǎn)，
∴得下面兩個(gè)方程組：

y=- 1 2 x+2 y=2x

和

y=- 1 2 x- 1 2 y=2x

，
解得E（

4

5

，

8

5

），F(xiàn)（-

1

5

，-

2

5

）．（14分）
∴矩形的未知頂點(diǎn)為（-1，2）或（

4

5

，

8

5

）、（-

1

5

，-

2

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及直線平行時(shí)解析式之間的關(guān)系．