Question

已知平行于x軸的直線y=a（a≠0）與函數y=x和函數y=

1

x

的圖象分別交于點A和點B，又有定點P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=

1

9

，求線段AB的長；
（2）在過A，B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中，已知線段AB=

8

3

，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；
（3）已知經過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到y(tǒng)=

9

5

x²的圖象，求點P到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）設B點坐標為（m，n），利用三角函數求出m與n的值以及點A的坐標．
（2）依題意可知拋物線開口向下，設點A（a，a），B（

1

a

，a）求出a值．設二次函數為y=k（x+

5

3

)2把點A代入求得k值以及函數解析式．
（3）依題意可求出拋物線的對稱軸為x=

a

2

+

1

2a

．把點A的坐標代入解析式求出a值．

解答：解：（1）設第一象限內的點B（m，n），
則tan∠POB=

n

m

=

1

9

，
得m=9n，
又點B在函數y=

1

x

的圖象上，得n=

1

m

，
所以m=3（-3舍去），
點B為（3，

1

3

），
而AB∥x軸，所以點A（

1

3

，

1

3

），
所以AB=3-

1

3

=

8

3

．

（2）由條件可知所求拋物線開口向下，
設點A（a，a），B（

1

a

，a），
則AB=

1

a

-a=

8

3

，
所以3a²+8a-3=0，
解得a=-3或a=

1

3

．
當a=-3時，點A（-3，-3），B（-

1

3

，-3），
因為頂點在y=x上，
所以頂點為（-

5

3

，-

5

3

），
所以可設二次函數為y=k（x+

5

3

）²-

5

3

，
點A代入，解得k=-

3

4

，
所以所求函數解析式為y=-

3

4

（x+

5

3

）²-

5

3

同理，當a=

1

3

時，所求函數解析式為y=-

3

4

（x-

5

3

）²+

5

3

；

（3）設A（a，a），B（

1

a

，a），由條件可知拋物線的對稱軸為x=

a

2

+

1

2a

，
設所求二次函數解析式為：y=

9

5

（x-2）（x-（a+

1

a

）+2），
點A（a，a）代入，
解得a₁=3，a2=

6

13

，
所以點P到直線AB的距離為3或

6

13

．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用，較為復雜．