Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是邊BC上一點，AP與BD交于點M，DP與AC交于點N．
①若點P為BC的中點，則AM：PM=2：1；
②若點P為BC的中點，則四邊形OMPN的面積是8；
③若點P為BC的中點，則圖中陰影部分的總面積為28；
④若點P在BC的運(yùn)動，則圖中陰影部分的總面積不變．
其中正確的是 ． （填序號即可）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①正確；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴AM：PM=AD：BP，

∵點P為BC的中點，

∴BP= BC= AD，

∴AM：PM=2：1；

②不正確；作MG⊥BC于G，如圖所示：

則MG∥AB，

∴△PMG∽△PAB，

∴MG：AB=PM：PA=1：3，

∴MG= AB=2，

∴四邊形OMPN的面積=△BOC的面積﹣△MBP的面積﹣△NCP的面積= ×8×6﹣ ×4×2﹣ ×4×2=4；③正確；

∵圖中空白部分的面積=△DBP的面積+△ACP的面積﹣四邊 形OMPN的面積= ×4×6+ ×4×6﹣4=20，

∴圖中陰影部分的總面積=矩形ABCD的面積﹣圖中空白部分的面積=8×6﹣20=28；④錯誤；

∵P在B時，陰影部分的面積= ×6×8=24≠28；

正確的有①③；

所以答案是：①③．

【考點精析】掌握矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．