【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且當(dāng)x=0和x=2時(shí),y的值相等.直線y=3x﹣7與這條拋物線相交于兩點(diǎn),其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M.

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)P為線段BM上一點(diǎn),過點(diǎn)P向x軸引垂線,垂足為Q.若點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合),設(shè)OQ的長為t,四邊形PQAC的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;

(3)在線段BM上是否存在點(diǎn)N,使NMC為等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3.(2)S四邊形PQAC=﹣t2+t+(1<t<3).(3)N1,﹣),N2(1+,﹣4),N3(2,﹣2).

【解析】

1)當(dāng)x=0x=2時(shí),y的值相等,可知拋物線的對(duì)稱軸為x=1,x=1代入直線的解析式中即可求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)直線的解析式還可求出另一交點(diǎn)的坐標(biāo)可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式,然后將另一交點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式

2)由于四邊形QACP不是規(guī)則的四邊形因此可將其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP兩部分進(jìn)行計(jì)算.先求出直線BM的解析式,然后將x=t代入直線BM的解析式中即可求出QP的長,然后根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式即可求出梯形QOCP的面積.然后根據(jù)四邊形QACP的面積計(jì)算方法即可得出St的函數(shù)關(guān)系式

3)可分三種情況進(jìn)行討論

NM=MC;NM=NC;MC=NC.可根據(jù)直線BM的解析式設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式表示出各線段的長,根據(jù)上面不同的等量關(guān)系式可得出不同的方程經(jīng)過解方程即可得出N點(diǎn)的坐標(biāo)

1)由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=1

當(dāng)x=1時(shí),y=3x7=﹣4因此拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣4).

當(dāng)x=4時(shí),y=3x7=5因此直線y=3x7與拋物線的另一交點(diǎn)為(4,5).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax124,則有a4124=5,解得a=1∴拋物線的解析式為y=x22x3

2)根據(jù)(1)的拋物線可知A(﹣1,0),B3,0),C0,﹣3);

易知直線BM的解析式為y=2x6;

當(dāng)x=t時(shí),y=2t6

因此PQ=62t;

S四邊形PQAC=S梯形QPCO+SAOC=×3+62t×t+×3×1

S四邊形PQAC=﹣t2+t+1t3).

3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N使△NMC為等腰三角形

∵點(diǎn)NBM,不妨設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m6),CM2=12+12=2,CN2=m2+[62m)﹣3]2,MN2=(m12+[4﹣(62m]2

NMC為等腰三角形,有以下三種可能

①若CN=CMm2+[62m)﹣3]2=2,m1=,m2=1(舍去),N,﹣).

②若MC=MN,則(m12+[4﹣(62m]2=12+12m=1±

1m3,m=1舍去,N1+4).

③若NC=NM,m2+[3﹣(62m]2=(m12+[4﹣(62m]2

解得m=2,N2,﹣2).

故假設(shè)成立

綜上所述存在這樣的點(diǎn)N,使△NMC為等腰三角形.且點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為

N1,﹣),N21+4),N32,﹣2).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中有線段AB,其中點(diǎn)A、B均在小正方形的頂點(diǎn)上.

1)在方格紙中畫出以BC為底的鈍角等腰三角形ABC,且點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上;

2)將(1)中的△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E),畫出△CDE;

3)在(2)的條件下,連接BE,請直接寫出△BCE的面積.

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【題目】如圖1,點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),△PAB,△PMN都是等邊三角形,連接BN,

(1)M點(diǎn)如圖1的位置時(shí),如果AM=5,BN的長;

(2)M點(diǎn)在如圖2位置時(shí),線段AB、BM、BN三者之間的數(shù)量關(guān)系__________________

(3)M點(diǎn)在如圖3位置時(shí),當(dāng)BM=AB時(shí),證明:MNAB

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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,RtABC中,∠C90°,∠B30°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn),作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD

1)根據(jù)作圖判斷:ABD的形狀是   ;

2)若BD10,求CD的長.

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【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°AC=6,BC=8.

1)用直尺和圓規(guī)作∠A的平分線,交BC于點(diǎn)D;(要求:不寫作法,保留作圖痕跡)

2)求SADC: S△ADB的值.

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【題目】1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,均為等邊三角形,點(diǎn)的延長線上,連接,求證:

2)類比探究:如圖2,均為等腰直角三角形,,點(diǎn)在邊的延長線上,連接.請判斷:①的度數(shù)為_________.②線段之間的數(shù)量關(guān)系是_________

3)問題解決:在(2)中,如果,求線段的長.

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB═2,AD=,PBC邊上的一點(diǎn),且BP=2CP.

(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點(diǎn)E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分∠AEC,并說明理由;

(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP并廷長交AB的廷長線于點(diǎn)F,連接AP,不添加輔助線,PFB能否由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與PAE組成一個(gè)等腰三角形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離)

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【題目】為保障北京2022 年冬季奧運(yùn)會(huì)賽場間的交通服務(wù)北京將建設(shè)連接北京城區(qū)-延慶區(qū)-崇禮縣三地的高速鐵路和高速公路.在高速公路方面,目前主要的交通方式是通過京藏高速公路G6),其路程為220公里.為將崇禮縣納入北京一小時(shí)交通圈,有望新建一條高速公路,將北京城區(qū)到崇禮的道路長度縮短到100公里.如果行駛的平均速度每小時(shí)比原來快22公里,那么從新建高速行駛?cè)趟钑r(shí)間與從原高速行駛?cè)趟钑r(shí)間比為411.求從新建高速公路行駛?cè)绦枰嗌傩r(shí)?

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