【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點D為BC的中點,點A在第一象限內(nèi),AB與y軸的正半軸交與點E,已知點B(﹣1,0).
(1)點A的坐標(biāo): , 點E的坐標(biāo):;
(2)若二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c過點A、E,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)P是AC上的一個動點(P與點A、C不重合)連結(jié)PB、PD,設(shè)l是△PBD的周長,當(dāng)l取最小值時,求點P的坐標(biāo)及l(fā)的最小值并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.
【答案】
(1)(1,2 );(0, )
(2)
解:因為拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A、E,
由待定系數(shù)法得:c= ,b= ,
拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+
(3)
解:作點D關(guān)于AC的對稱點D',
連接BD'交AC于點P,則PB與PD的和取最小值,
即△PBD的周長L取最小值,如圖2
.
∵D、D′關(guān)于直線AC對稱,
∴DD′⊥AC,即∠D′DC=30°,
DF= ,DD'=2 ,
求得點D'的坐標(biāo)為(4, ),
直線BD'的解析式為:y= x+ ,
直線AC的解析式為:y=﹣ x+3 ,
求直線BD'與AC的交點可,得
點P的坐標(biāo)( , ).
此時BD'= = =2 ,
所以△PBD的最小周長L為2 +2,
把點P的坐標(biāo)代入y=﹣ + x+ 成立,
所以此時點P在拋物線上.
【解析】解:(1)連接AD,如圖1
,
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形,又B的坐標(biāo)為(﹣1,0),BC在x軸上,A在第一象限,
∴點C在x軸的正半軸上,
∴C的坐標(biāo)為(3,0),由中點坐標(biāo)公式,得:D的坐標(biāo)為(1,0).
顯然AD⊥BC且AD= BD=2 ,
∴A的坐標(biāo)是(1,2 ).
OE= AD,得E(0, );
(1)△ABC是邊長為4的等邊三角形,則BC=4,而點D為BC的中點,BD=2,點B(﹣1,0),則OD=1,就可以求出A的橫坐標(biāo),等邊三角形的高線長,就是A的縱坐標(biāo).在直角三角形OBE中,根據(jù)三角函數(shù)可以求出OE的長,即得到E點的縱坐標(biāo).(2)已經(jīng)求出A,E的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式.(3)先作點D關(guān)于AC的對稱點D',連接BD'交AC于點P,則PB與PD的和取最小值,即△PBD的周長L取最小值.根據(jù)三角函數(shù)求的D′的坐標(biāo),再求出直線BD′的解析式,以及直線AC的解析式,兩直線的交點就是P的坐標(biāo).把點P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式,就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于A.B兩點,點M是OB上一點,若直線AB沿AM折疊,點B恰好落在x軸上的點C處,則點M的坐標(biāo)是( )
A. (0,4) B. (0,3) C. (﹣4,0) D. (0,﹣3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,DA平分∠BDC,∠A=∠C.
(1)試說明:CE∥AD;
(2)若∠C=30°,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BG⊥AC于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)在圖(1)中,D是BC邊上的中點,判斷DE+DF和BG的關(guān)系,并說明理由.
(2)在圖(2)中,D是線段BC上的任意一點,DE+DF和BG的關(guān)系是否仍然成立?如果成立,證明你的結(jié)論;如果不成立,請說明理由.
(3)在圖(3)中,D是線段BC延長線上的點,探究DE、DF與BG的關(guān)系.(不要求證明,直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的文字,解答問題.
大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,但是由于1<<2,所以的整數(shù)部分為1,將減去其整數(shù)部分1,差就是小數(shù)部分-1,根據(jù)以上的內(nèi)容,解答下面的問題:
(1)的整數(shù)部分是 ,小數(shù)部分是 ;
(2)1+的整數(shù)部分是 ,小數(shù)部分是 ;
(3)若設(shè)2+整數(shù)部分是x,小數(shù)部分是y,求x-y的值.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖,關(guān)于該二次函數(shù),下列說法錯誤的是( )
A.函數(shù)有最小值
B.當(dāng)﹣1<x<3時,y>0
C.當(dāng)x<1時,y隨x的增大而減小
D.對稱軸是直線x=1
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【題目】如圖,拋物線y=x2﹣4x與x軸交于點O,A,頂點為B,連接AB并延長,交y軸于點C,則圖中陰影部分的面積和為( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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【題目】著名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾指出:可以表示為四個整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘,其乘積仍然可以表示為四個整數(shù)平方之和,即 ,這就是著名的歐拉恒等式,有人稱這樣的數(shù)為“不變心的數(shù)”.實際上,上述結(jié)論可減弱為:可以表示為兩個整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘,其乘積仍然可以表示為兩個整數(shù)平方之和.
【動手一試】
試將改成兩個整數(shù)平方之和的形式. ;
【閱讀思考】
在數(shù)學(xué)思想中,有種解題技巧稱之為“無中生有”.例如問題:將代數(shù)式改成兩個平方之差的形式.解:原式﹒
【解決問題】
請你靈活運用利用上述思想來解決“不變心的數(shù)”問題:將代數(shù)式改成兩個整數(shù)平方之和的形式(其中a、b、c、d均為整數(shù)),并給出詳細的推導(dǎo)過程﹒
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,己知O為坐標(biāo)原點,點A(3,0),B(0,4),以點A為旋轉(zhuǎn)中心,把△ABO順時針旋轉(zhuǎn),得△ACD.記旋轉(zhuǎn)角為α.∠ABO為β.
(Ⅰ)如圖①,當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時,求點D的坐標(biāo);
(Ⅱ)如圖②,當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時,求α與β之間的數(shù)量關(guān)系:
(Ⅲ)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時,求直線CD的解析式(直接寫出結(jié)果即可).
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