【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,己知O為坐標(biāo)原點,點A(3,0),B(0,4),以點A為旋轉(zhuǎn)中心,把△ABO順時針旋轉(zhuǎn),得△ACD.記旋轉(zhuǎn)角為α.∠ABO為β.

(Ⅰ)如圖①,當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時,求點D的坐標(biāo);
(Ⅱ)如圖②,當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時,求α與β之間的數(shù)量關(guān)系:
(Ⅲ)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時,求直線CD的解析式(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】解:

(1)∵點A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5,
根據(jù)題意,有DA=OA=3.
如圖①,過點D作DM⊥x軸于點M,
則MD∥OB,
∴△ADM∽△ABO.有
,
∴OM=
∴MD=,
∴點D的坐標(biāo)為().
(2)如圖②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴在△ABC中,
∴α=180°﹣2∠ABC,
∵BC∥x軸,得∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,
∴α=2β;
(3)若順時針旋轉(zhuǎn),如圖,

過點D作DE⊥OA于E,過點C作CF⊥OA于F,
∵∠AOD=∠ABO=β,
∴tan∠AOD==,
設(shè)DE=3x,OE=4x,
則AE=4x﹣3,
在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2 ,
∴9=9x2+(4x﹣3)2
∴x=,
∴D(,),
∴直線AD的解析式為:y=x﹣,
∵直線CD與直線AD垂直,且過點D,
∴設(shè)y=﹣x+b,把D(,)代入得,=﹣×+b,
解得b=4,
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于﹣1,
∴直線CD的解析式為y=﹣X+4.
同理可得直線CD的另一個解析式為y=x﹣4.
【解析】(1)過點D作DM⊥x軸于點M,求證△ADM∽△ABO,根據(jù)相似比求AM的長度,推出OM和MD的長度即可;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),推出α=180°﹣2∠ABC,結(jié)合已知條件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,即α=2β;
(3)做過點D作DM⊥x軸于點M,根據(jù)勾股定理和△OAB∽△OMD,推出D點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),然后求出C點坐標(biāo),就很容易得到CD的解析式了.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解確定一次函數(shù)的表達式(確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法),還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點D為BC的中點,點A在第一象限內(nèi),AB與y軸的正半軸交與點E,已知點B(﹣1,0).
(1)點A的坐標(biāo): , 點E的坐標(biāo):;
(2)若二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c過點A、E,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)P是AC上的一個動點(P與點A、C不重合)連結(jié)PB、PD,設(shè)l是△PBD的周長,當(dāng)l取最小值時,求點P的坐標(biāo)及l(fā)的最小值并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE,OE,連接AE,交OD于點F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為(

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點P是菱形ABCD的對角線BD上一點,連接CP并延長交AD于E,交BA的延長線于點F.

(1)求證:△APD≌△CPD;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)猜想:線段PC,PE,PF之間存在什么關(guān)系?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小區(qū)準(zhǔn)備新建50個停車位,用以解決小區(qū)停車難的問題.已知新建1個地上停車位和1個地下停車位共需0.6萬元;新建3個地上停車位和2個地下停車位共需1.3萬元.

(1)該小區(qū)新建1個地上停車位和1個地下停車位各需多少萬元?

(2)該小區(qū)的物業(yè)部門預(yù)計投資金額超過12萬元而不超過13萬元,那么共有幾種建造停車位的方案?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】麒麟?yún)^(qū)第七中學(xué)現(xiàn)有一塊空地ABCD如圖所示,現(xiàn)計劃在空地上種草皮,經(jīng)測量,∠B=90°,AB=3m,BC=4mCD=13m,AD=12m

1)求出空地ABCD的面積?

2)若每種植1平方米草皮需要300元,問總共需投入多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,P,Q分別是BC,AC上的點,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為R,S,若AQ=PQ,PR=PS,則這四個結(jié)論中正確的有( )

①PA平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在下列條件中,不能證明ABD≌△ACD的是( 。

A. BD=DC,AB=AC B. ADB=ADC,BD=DC

C. B=C,BAD=CAD D. B=C,BD=DC

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為點E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.

(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=4,AD=3 , AF=2 , 求AE的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案