Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E是邊AD上的一個動點(diǎn)，把△BAE沿BE折疊，點(diǎn)A落在A′處，如果A′恰在矩形的對角線上，則AE的長為_____．

Answer 1

【答案】3或．

【解析】

由勾股定理求得BD，當(dāng)點(diǎn)A′在BD上時，設(shè)AE=x，由翻折的性質(zhì)得：EA′=AE=x，BA′=AB=3，則由勾股定理求得AE；當(dāng)點(diǎn)A′在AC上時，由射影定理求得AG，由三角形相似的判定定理證得△AEG∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AE．

∵矩形ABCD，

∴∠A＝90°，BD＝＝＝10，

當(dāng)A′在BD上時，如圖1所示：

設(shè)AE＝x，

由翻折的性質(zhì)得：EA′＝AE＝x，BA′＝AB＝6，

∴ED＝8﹣x，∠EFD＝∠A＝90°，

∴A′D＝10﹣6＝4，

在Rt△EA′D中，

x2+42＝（8﹣x）2，

解得：x＝3，

∴AE＝3；

當(dāng)點(diǎn)A′在AC上時，如圖2所示：

由翻折的性質(zhì)得：BE垂直平分AA′，AC＝10，

由射影定理得：AB2＝AGAC，

∴AG＝，

∵∠AGE＝∠D＝90°，∠EAG＝∠CAD，

∴△AEG∽△ACD，

＝，即＝，

∴AG＝AE＝，

∴AE＝．

∴AE的長為3或．

故答案為3或．