Question

【題目】如圖1和圖2，矩形ABCD中，E是AD的中點，P是BC上一點，AF∥PD，∠FPE=∠DPE．

（1）作射線PE交直線AF于點G，如圖1．

①求證：AG=DP；

②若點F在AD下方，AF=2，PF=7，求DP的長．

（2）若點F在AD上方，如圖2，直接寫出PD，AF，PF的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②DP=5；（2）PD=PF＋AF．

【解析】

(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GAE=∠PDE，∠G=∠DPE．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②等量代換得到∠G=∠FPE．求得GF=PF=7，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
(2)如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠G=∠DPE，等量代換得到∠G=∠FPG，求得PF=FG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=PD，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

(1)①∵AF∥PD，

∴∠GAE=∠PDE，∠G=∠DPE，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

∴△AEG≌△DEP，

∴AG=DP；

②∵∠FPE=∠DPE，∠G=∠DPE，

∴∠G=∠FPE，

∴GF=PF=7．

∵AF=2，

∴AG=5．

由①AG=DP，

∴DP=5；

(2)PD=PF+AF，
理由：如圖2，

∵AF∥PD，
∴∠G=∠DPE，
∵∠FPE=∠DPE，
∴∠G=∠FPG，
∴PF=FG，
∵∠AEG=∠DEP，AE=DE，
∴△AEG≌△DEP(AAS)，
∴AG=PD，
∵AG=AF+FG，
∴PD=AF+PF，

PD=PF+AF．