【題目】如圖,在中,,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié),作交射線于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),求與的大小關(guān)系;
(2)當(dāng)等于多少時(shí),是等腰三角形.
【答案】(1)FG=FC(2) 6-3 或3 或6+3
【解析】
(1)在DC上取一點(diǎn)M,使DM=DF,根據(jù)中位線和等腰直角三角形及線段的關(guān)系得到CM=EF,再判斷出∠FCM=∠GFE,即可得出△EFG≌△MCF(ASA),即可求解;
(2)分點(diǎn)點(diǎn)F在DE上和DE的延長(zhǎng)線上,構(gòu)造直角三角形,建立方程求解即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,在DC上取一點(diǎn)M,使DM=DF,
∵AC=BC,∠ACB=90,
∴∠A=∠ABC=45,
點(diǎn)D,E是AC,AB的中點(diǎn),
∴DE=BC=3,AD=CD=AC=3,DE∥BC,
∴CD=DE,∠ADE=∠CDE=∠ACB=90,∠AED=∠ABC=45
∴CD-DM=DE-DF,
∴CM=EF,∠DMF=45=∠AED,
∴∠CMF=∠FEG,
∵CF⊥FG,
∴∠EFG+∠CFD=90,
∵∠DCF+∠CFD=90,
∴∠FCM=∠GFE,
在△EFG和△MCF中,
∴△EFG≌△MCF(ASA),
∴FG=FC;
(2)設(shè)DF=x,
∵AC=BC=6,
∴AB=
∴BE=AE=AB=3
①當(dāng)點(diǎn)F在DE上時(shí),如圖2,
∵△BFG為等腰三角形,
∴FG=BG,
過(guò)點(diǎn)G作GN⊥DE于N,
∴∠FGN+∠GFN=90,
∵CF⊥FG
∴∠CFD+∠GFN=90,
∴∠CFD=∠FGN,
又CF=FG, ∠CDF=∠FNG=90
∴△CDF≌△FNG,
∴FN=CD=3,
∴EN=DF=NG,
∴EG=EN=NG=x,
∴FG=BG=BE-EG=3-x,
在Rt△FNG中,FG2NG2=FN2,
即:(3-x)2x2=9,
∴x=6+3(舍)或x=63,
②當(dāng)點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3
∵△BFG為等腰三角形,
Ⅰ、當(dāng)BF=BG時(shí),
過(guò)點(diǎn)B作BP⊥DE于P,
∴四邊形BCDP是矩形,
∴BP=CD=3,DP=BC=6,
∴PF=DFDP=x6,
在圖2中,FM=DF=x,
∴EG=FM=x,
∴BF=BG=EGBE=x3=(x3),
在Rt△BPF中,BF2PF2=BP2,
即:[(x3)]2(x6)2=9.
∴x=3(舍)或x=3,
Ⅱ、當(dāng)BG=FG時(shí),
BG=FG=CF=;EG=MF=DF=x;BE=3
∴+3=x,
整理得:x212x+9=0
解得:x=6+3或x=63(不符題意舍去),
當(dāng)BF=FG時(shí),CF=FG=BF=,
∵CF=,
∴=,
∴x=3(舍)
即:△BFG為等腰三角形時(shí),x的值為6-3或3或6+3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)10個(gè)班的300名學(xué)生即將參加學(xué)校舉行的研究旅行活動(dòng),學(xué)校提出以下4個(gè)活動(dòng)主題:A.赤水丹霞地貌考察;B.平塘天文知識(shí)考察;C.山關(guān)紅色文化考察;D.海龍電土司文化考察,為了解學(xué)生喜歡的活動(dòng)主題,學(xué)生會(huì)開展了一次調(diào)查研究,請(qǐng)將下面的過(guò)程補(bǔ)全
(1)收集數(shù)據(jù):學(xué)生會(huì)計(jì)劃調(diào)查學(xué)生喜歡的活動(dòng)主題情況,下面抽樣調(diào)查的對(duì)象選擇合理的是______.(填序號(hào))
①選擇七年級(jí)3班、4班、5班學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象
②選擇學(xué)校旅游攝影社團(tuán)的學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象
③選擇各班學(xué)號(hào)為6的倍數(shù)的學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象
(2)整理、描述數(shù)據(jù):通過(guò)調(diào)査后,學(xué)生會(huì)同學(xué)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)把統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整
某校七年級(jí)學(xué)生喜歡的活動(dòng)主題條形統(tǒng)計(jì)圖某校七年級(jí)學(xué)生喜歡的活動(dòng)主題扇形統(tǒng)計(jì)圖
(3)分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論:請(qǐng)你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果向?qū)W校推薦本次活動(dòng)的主題,你的推薦是______(填A-D的字母代號(hào)),估算全年級(jí)大約有多少名學(xué)生喜歡這個(gè)主題活動(dòng)
(4)若在5名學(xué)生會(huì)干部(3男2女)中,隨機(jī)選取2名同學(xué)擔(dān)任活動(dòng)的組長(zhǎng)和副組長(zhǎng),求抽出的兩名同學(xué)恰好是1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上有兩點(diǎn),它們的對(duì)應(yīng)數(shù)分別是,其中
(1)在左側(cè)作線段,在的右側(cè)作線段(要求尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)若點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,且,求的值
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn),是數(shù)軸上一點(diǎn),且,請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在中,為銳角,點(diǎn)為射線上一點(diǎn),連接,以為且在的右側(cè)作正方形.
(1)如果,當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)不重合),①如圖2,線段的數(shù)量關(guān)系為 ,線段所在直線的位置關(guān)系為 ;
②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),如,3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
(2)如圖4,如果是銳角,點(diǎn)在線段上,當(dāng)滿足什么條件時(shí),(點(diǎn)不重合),請(qǐng)直接寫出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校260名學(xué)生參加植樹活動(dòng),要求每人植樹4~7棵,活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽查了20名學(xué)生每人的植樹量,并分為四種類型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.將各類的人數(shù)繪制成扇形圖(如圖1)和條形圖(如圖2),經(jīng)確認(rèn)扇形圖是正確的,而條形圖尚有一處錯(cuò)誤.
回答下列問(wèn)題:
(1)寫出條形圖中存在的錯(cuò)誤,并說(shuō)明理由;
(2)寫出這20名學(xué)生每人植樹量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)求這20名學(xué)生每人植樹量的平均數(shù),并估計(jì)這260名學(xué)生共植樹多少棵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為1的正方形的兩個(gè)頂點(diǎn),分別在軸、軸的正半軸上,點(diǎn)是原點(diǎn).現(xiàn)在將正方形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)第一次落在直線上時(shí)停止.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,邊交直線于點(diǎn),邊交軸于點(diǎn).
(1)若點(diǎn),求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及的值;
(2)若的周長(zhǎng)是,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,值是否會(huì)發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出這個(gè)定值,若有變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè),當(dāng)為何值時(shí)的面積最小,最小值是多少?并直接寫出此時(shí)內(nèi)切圓半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)為長(zhǎng)為5的線段上一點(diǎn),且,過(guò)作于,且,以為鄰邊作矩形,將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段,優(yōu)弧交于,交于,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為
(1)若扇形的面積為,則的度數(shù)為_______.
(2)連接,判斷與扇形所在圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)設(shè)為直線上一點(diǎn),沿所在直線折疊矩形,若折疊后所在的直線與扇形所在的相切,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請(qǐng)畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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