Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的邊BC在x軸上，A（0，3），B（，0），點(diǎn)M（，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AN．

(1)當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)的左方時(shí)，連接CN，求證：△BAM≌△CAN；

(2)如圖2，當(dāng)M點(diǎn)在邊BC上時(shí)，過點(diǎn)N作ND//AC交x軸于點(diǎn)D，連接MN，若，試求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖3，是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)N恰好在拋物線上，如果存在，請(qǐng)求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)D(，0)；(3)存在，或

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差可得、、，再根據(jù)全等三角形的判定即可得證結(jié)論；

（2）過作軸于點(diǎn)，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可得出是等邊三角形，再結(jié)合已知條件根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等可列出關(guān)于的方程，解得即可求得答案；

（3）由（2）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式解方程即可得解．

解：（1）證明：∵是等邊三角形

∴，

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴ ，

∴

∴

∴在和中

∴．

（2）過作軸于點(diǎn)，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：

∵由（1）可知

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等邊三角形

∴

∵是等邊三角形，，，

∴，，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴．

（3）由（2）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵若點(diǎn)恰好在拋物線上

∴

∴或

∴存在點(diǎn)，使得點(diǎn)恰好在拋物線上，此時(shí)或．