Question

（2012•洛江區(qū)質(zhì)檢）如圖，拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點A（-2，0），P是拋物線上的一動點，以P為圓心作⊙P；
（1）求a的值；
（2）是否存在一個⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切？若存在，請你求⊙P的半徑；若不存在，請說明理由．
（3）若⊙P的半徑為

3

2

2

，當(dāng)⊙P與直線y=x-5相切時，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點A（-2，0），把A點代入y=ax²+4即可求出a的值；
（2）根據(jù)設(shè)P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，則x=-x²+4求出即可，
（3）利用①當(dāng)P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，②當(dāng)P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，分別求出即可．

解答：解：（1）把A（-2，0）代入y=ax²+4得：
4a+4=0，
∴a=-1…（3分）；

（2）根據(jù)a=-1，則y=-x²+4，
設(shè)P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，
則x=-x²+4…（5分），
解得：x₁=

-1+ 17

2

，x₂=

-1- 17

2

（不合題意舍去），
則當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切時，
⊙P的半徑為

-1+ 17

2

…（7分）；

（3）如圖，作PM∥y軸，交DE于M，作PN⊥DE于N，
易求直線y=x-5與兩坐標(biāo)軸的交點為E（0，-5），D（5，0）
所以∠PMD=∠OED=45°
∴PM=

2

PN，
若⊙P與直線y=x-5相切，則PN=

3

2

2

，
∴PM=

2

PN=

2

•

3

2

2

=3…（8分）
設(shè)P（x，-x²+4），則M（x，x-5）
①當(dāng)P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，
解得：x=-3或2…（10分）
∴P₁（-3，-5）P₂（2，0）…（11分）
②當(dāng)P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，
解得：x=-4或3…（13分）
∴

P

3

（-4，-12）P₄（3，-5）…（14分）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及直線與圓的位置關(guān)系等知識，利用在圖象上點的坐標(biāo)特點表示出線段長度是解題關(guān)鍵．