Question

【題目】探索平方差公式的幾何背景

如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形．

(1)請表示圖中陰影部分的面積： ；

(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖2)，這個長方形的長和寬分別是 ，它的面積是 ；

(3)比較(1)(2)的結果，你能驗證平方差公式嗎？說一說驗證的理由．

Answer 1

【答案】(1) a2－b2；(2)這個長方形的長和寬分別是a＋b，a－b，它的面積是(a＋b)(a－b)；(2)能．理由：陰影部分的面積是不變的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

【解析】

（1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積；

（2）圖乙所示的長方形的長和寬分別為（a+b）、（a-b），由此可計算出面積；

（3）根據(jù)陰影部分的面積相等可得出平方差公式．

（1）大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，

故圖甲陰影部分的面積值為a2-b2；

（2）長方形的長和寬分別為（a+b）、（a-b），

故重拼的長方形的面積為（a+b）（a-b）；

（3）比較（1）和（2）的結果，都表示同一陰影的面積，它們相等，

即a2-b2=（a+b）（a-b），可以驗證平方差公式，這也是平方差公式的幾何意義．