Question

閱讀以下材料并填空：平面上有n個點(diǎn)（n≥2）且任意三個點(diǎn)不在同一直線上，過這些點(diǎn)作直線一共能作出多少條不同的直線？
分析：當(dāng)僅有兩個點(diǎn)時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點(diǎn)時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點(diǎn)時，可連成6條直線，當(dāng)有5個點(diǎn)時可連成10條直線…
推導(dǎo)：平面上有n個點(diǎn)，因為兩點(diǎn)可確定一條直線，所以每個點(diǎn)都可與除本身之外的其余（n-1）個點(diǎn)確定一條直線，即共有
n（n-1）條直線．但因AB與BA是同一條直線，故每一條直線都數(shù)了2遍，所以直線的實際總條數(shù)為

n(n-1)

2

．
試結(jié)合以上信息，探究以下問題：
平面上有n（n≥3）個點(diǎn)，任意3個點(diǎn)不在同一直線上，過任意3點(diǎn)作三角形，一共能作出多少個不同的三角形？
分析：考察點(diǎn)的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù) s_n，發(fā)現(xiàn)：（填下表）

點(diǎn)的個數(shù)	可連成的三角形的個數(shù)
3	1
4	4
5	10
…	…
n	n(n-1)(n-2) 6

推導(dǎo)：

平面上有n個點(diǎn)，過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定1個三角形，取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法．取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．

．

Answer 1

分析：順次連接不在同一直線上的三個點(diǎn)可作1個三角形；當(dāng)有4個點(diǎn)時，可作4個三角形；當(dāng)有5個點(diǎn)時，可作10個三角形；依此類推當(dāng)有n個點(diǎn)時，可作

n(n-1)(n-2)

6

個三角形．

解答：解：分析：順次連接不在同一直線上的三個點(diǎn)可作1個三角形；當(dāng)有4個點(diǎn)時，可作4個三角形；當(dāng)有5個點(diǎn)時，可作10個三角形；依此類推當(dāng)有n個點(diǎn)時，可作

n(n-1)(n-2)

6

個三角形．
故答案為：1、4、10、

n(n-1)(n-2)

6

．
推導(dǎo)：平面上有n個點(diǎn)，過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定1個三角形，取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法．取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．
故答案為：
平面上有n個點(diǎn)，過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定1個三角形，取第一個點(diǎn)A有n種取法，取第二個點(diǎn)B有（n-1）種取法．取第三個點(diǎn)C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=

n(n-1)(n-2)

6

．

點(diǎn)評：此題考查了規(guī)律總結(jié)，運(yùn)用由特殊到一般的方法，進(jìn)行歸納總結(jié)．