Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)D，B，C三點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)：B（ ），D（ ）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）求證：ED是⊙P的切線；

（4）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出平面上點(diǎn)N的坐標(biāo)，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）（-4，0）；D（0，2）；（2）y=-x2-x+；(3)證明見解析；（4）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，）、（3，）、（-3，-）．

【解析】

試題分析：（1）先確定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，可得D（0，2）；

（2）利用交點(diǎn)式，待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；

（3）先計(jì)算出CD=2OC=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定可得△AED∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到CD為⊙P的直徑，于是根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線；

（4）利用配方得到y(tǒng)=-（x+1）2+，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)平移的規(guī)律，利用分類討論的方法確定N點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（-4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=，

∴D（0，）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），

把D（0，）代入得a×4×（-2）=，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x+4）（x-2）=-x2-x+；

（3）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴,，

∴，

∵∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

∵∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（4）存在．

∵y=-x2-x+=-（x+1）2+，

∴M（-1，），

∵B（-4，0），D（0，），

如圖2，

當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)M（-1，）向左平移4個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)N1（-5，）；

當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)D（0，）向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)N2（3，）；

當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D（0，）向右平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)N3（-3，-），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，）、（3，）、（-3，-）．