Question

【題目】如圖，PA是⊙O的切線，A為切點，AC是⊙O的直徑，AB是弦，PA∥BC交AB于點D.

（1）求證：PB是⊙O的切線．
（2）當BC=2 ，cos∠AOD= 時，求PB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∵PO∥BC，

∴∠ADO=∠ABC=90°，即PO⊥AB，

∴AD=BD，

∴PA=PB，

在△APO和△BPO中，

，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠PBO=90°，

∴PB是⊙O的切線．

（2）∵PO∥BC，

∴∠ACB=∠AOD，

∴cos∠ACB=cos∠AOD= ，

∴ = ，

∴AC=2 ÷ =8，

∴OA= AC=4，

∵cos∠AOP= = ，

∴OP=8 ，

∴AP= =4 ，

∵PA=PB，

∴PB=4 ．

【解析】（1）證PB是⊙O的切線，需要證∠PBO=90°，可利用SSS證明△APO≌△BPO得出∠PAO=∠PBO；
（2）利用平行線的性質和已知可得cos∠ACB=cos∠AOD，利用三角函數的定義可求得AC的長，在Rt△AOP中利用三角函數可求出OP的長，在Rt△AOP中利用勾股定理求得AP，由切線長定理可得PB的長.
【考點精析】通過靈活運用解直角三角形，掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．