Question

【題目】已知，如圖拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點A的坐標為（﹣4，0），B的坐標為（1，0），且OC＝4OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求三角形ACD面積的最大值；

（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；（2）三角形ACD面積的最大值＝8；（3）存在3個點符合題意，坐標分別是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．

【解析】

（1）根據(jù)點B的坐標為（1，0），OC＝4OB可得出C點坐標，再把A，B，C三點的坐標代入拋物線的解析式求出a，b，c的值即可；

（2）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，故可得出DM＝（x＋2）2＋4，即可得出結論；

（3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形，根據(jù)PC兩點的縱坐標相等可得出P點坐標；②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，令P（x，4），由x2＋3x4＝4得出x的值即可得出P點坐標．

解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），

∴C（0，﹣4），

把點A，B，C的坐標代入y＝ax2+bx+c，得

解得：，

∴拋物線線的解析式為：y＝x2+3x﹣4；

（2）如圖1，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．

∵A（﹣4，0），B的坐標為（1，0），

∴AB＝5，

∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DMOA＝2DM，

設直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），

∴，解得，

故直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣4．

令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），則DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，

當x＝﹣2時，DM有最大值4，

故三角形ACD面積的最大值＝×4×4＝8；

（3）①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，

∴x＝0或x＝﹣3．

∴P1（﹣3，﹣4）．

②如圖3，平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣4），

∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．

解得x＝或x＝．

此時存在點P2（，4）和P3（，4）．

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．