Question

【題目】已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．

（1）如圖①，當(dāng)直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖②，當(dāng)直線l與⊙O相交于點E，F(xiàn)時，求證：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵直線l與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）解：如圖②，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠B=90°，

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，

在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠ADE+∠DAE+∠B=180°，
故∠DAE+∠B=90°，

∴∠BAF=∠DAE．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)知OC⊥CD，然后根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行得AD∥OC，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠DAC=∠ACO；根據(jù)等邊對等角得∠ACO=∠CAO，進(jìn)而得∠DAC=∠CAO，故AC平分∠DAB；
（2）如圖②，連接BF， 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得∠AFB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠BA+∠B=90°，根據(jù)三角形的外角定理得∠AEF=∠ADE+∠DAE，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得∠AEF+∠B=180°，即∠ADE+∠DAE+∠B=180°，故∠DAE+∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠BAF=∠DAE．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余角和補(bǔ)角的特征的相關(guān)知識，掌握互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置無關(guān)，以及對平行線的判定與性質(zhì)的理解，了解由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)．