【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90AC=BC=4,DAB的中點,E,F分別是AC, BC上的點(點E不與端點AC重合),且AE=CF,連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使GO=OD.連接DE, GE, GF.

(1)求證:四邊形EDFG是正方形;

(2)直接寫出四邊形EDFG面積的最小值和E點所在的位置.

【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形EDFG的最小值是4,此時,E為線段AC的中點

【解析】分析:1)連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=DCF=45°、AD=CD結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDFSAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DFADE=CDF,通過角的計算可得出∠EDF=90°,再根據(jù)OEF的中點、GO=OD,即可得出GDEFGD=2OD=EF,由此即可證出四邊形EDFG是正方形;

2)過點DDEACE′,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE的長度,從而得出2DE2再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.

詳解:(1)連接CD,如圖1所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,ACB=90°,DAB的中點∴∠A=DCF=45°,AD=CD

在△ADE和△CDF中,∵,∴△ADE≌△CDFSAS),DE=DF,ADE=CDF

∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=EDF=90°,∴△EDF為等腰直角三角形.

OEF的中點GO=OD,GDEF,GD=2OD=EF∴四邊形EDFG是正方形;

2)過點DDEACE′,如圖2所示.

∵△ABC為等腰直角三角形,ACB=90°,AC=BC=4,DE′=BC=2,AB=4,EAC的中點,2DE2(點E與點E重合時取等號),4S四邊形EDFG=DE28,∴當(dāng)點E為線段AC的中點時四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4

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(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(shè)(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M,與y軸交點為N,將它的衍生直線MN先繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點,是否存在點P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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