Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（1，0），B（0，3），將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，設(shè)E為AD的中點(diǎn)．

（1）判斷AB與CD的關(guān)系并證明；

（2）求直線EC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）AB＝CD，AB⊥CD，證明詳見解析；（2）y＝x+1．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得△COD≌△AOB，即可證得AB＝CD，∠A＝∠DCO，從而證得∠A+∠D＝90°

得到∠DFA＝90°，證得AB⊥CD；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OB＝OD，OA＝OC，進(jìn)一步得到C（0，1），E（﹣1，0），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．

（1）AB＝CD，AB⊥CD．

∵△COD是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得F

∴△COD≌△AOB

∴AB＝CD．

延長(zhǎng)CD交AB于F

∵△COD≌△AOB

∴∠A＝∠DCO

∴∠A+∠D＝90°

∴∠DFA＝90°

∴AB⊥CD；

（2）∵△COD≌△AOB，

∴OB＝OD，OA＝OC

又∵A （1，0），B （0，3）

∴OA＝1＝OC，OB＝3＝OD，C（0，1）

則AD＝OA+OD＝1+3＝4

又∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝2

∴E（﹣1，0）

設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b

則有解得

∴直線EC的解析式為y＝x+1．