Question

【題目】在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=4，P是邊BC上一點(diǎn)，BP=3.將紙片沿AP折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)O，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)該長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)D.

（1）試判斷△ADP的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）求AD長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）△ADP為等腰三角形；理由見(jiàn)解析；（2）；

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得∠APB＝∠APD，由矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，進(jìn)而得到∠DAP＝∠APB，進(jìn)一步證得∠DAP＝∠APD，完成證明；

（2）由折疊的性質(zhì)得到PO＝BP＝3，AO＝AB＝4，∠AOD＝∠AOP＝∠B＝90°，設(shè)AD的長(zhǎng)為x．運(yùn)用勾股定理列方程解答即可．

解：（1）△ADP為等腰三角形；

理由如下：由折疊性質(zhì)可得∠APB＝∠APD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP＝∠APB，

∴∠DAP＝∠APD，

∴AD＝DP，

∴△ADP為等腰三角形；

（2）由折疊性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得PO＝BP＝3，AO＝AB＝4，∠AOD＝∠AOP＝∠B＝90°，

設(shè)AD的長(zhǎng)為x．

∵AD＝DP，

∴OD＝x﹣3，

∴在直角△AOD中有AD2＝AO2+OD2，

∴x2＝42+（x﹣3）2，

解得x＝，

即AD的長(zhǎng)為．