Question

（2013•錦州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）設OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2

3

，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，易證得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，證得BE與⊙O相切；
（2）首先設OC=x，則OD=OF-DF=x-1，易求得OC的長，即可得∠BOC=120°，又由S=S_{四邊形OBEC}-S_扇形OBC求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠EOC=∠EOB，
∵在△EOC和△EOB中，

OC=OB ∠EOC=∠EOB OE=OE

，
∴△COE≌△BOE（SAS），
∴∠OCE=∠OBE=90°，
即OB⊥BE，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥BC，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

×2

3

=

3

，
設OC=x，則OD=OF-DF=x-1，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，
∴x²=（x-1）²+（

3

）²，
解得：x=2，
∴OC=2，∠COD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴CE=OC•tan60°=2

3

，
∴S=S_{四邊形OBEC}-S_扇形OBC=2S_△OCE-S_扇形OBC=2×

1

2

×2×2

3

-

120

360

×π×2²=4

3

-

4

3

π．

點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．