Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2﹣7mx+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸分別交于點(diǎn)B（1，0）．點(diǎn)C（x2，0），過點(diǎn)A作直線AD∥x軸，與拋物線交于點(diǎn)D，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（t，0），過點(diǎn)E作直線l∥y軸，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線AD交于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)0＜t≤7時(shí)，求△APC面積的最大值；

（3）當(dāng)t＞1時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=1時(shí)，m﹣7m+3=1；（2）當(dāng)t=7時(shí)，S△APC最大=，當(dāng)t=3時(shí)，S△APC最大=；

（3）存在，t=或或13．

【解析】分析：

（1）先將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m，即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，利用面積和或差得出函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．

詳解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，m﹣7m+3=1；

∴m=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，0=x2﹣x+3，

∴x=1或x=6，

∴C（6，0）；

（2）由題意知，點(diǎn)P與點(diǎn)C不能重合，

∴t≠6，

∵A（0，3），C（6，0），

∴直線AC的解析式為y=﹣+3，

∵E（t，0），

設(shè)直線AC與l的交點(diǎn)為F，

∴F（t，﹣t+3），

當(dāng)0＜t＜6時(shí)，FP=﹣t2+3t，

∴S△APC=S△APF+S△PFC=﹣（t﹣3）2+，

當(dāng)t=3時(shí)，S△APC最大=，

當(dāng)6＜t≤7時(shí)，S△APC=S△APF﹣S△PFC=（t﹣3）2﹣，

當(dāng)t=7時(shí)，S△APC最大=，

∴當(dāng)t=3時(shí)，S△APC最大=；

（3）存在，

理由：在△AOB中，OA=3，OB=1，∠AOB=90°，P（t， t2﹣t+3），

∵點(diǎn)P和點(diǎn)D不能重合，

∴t≠7，

當(dāng)1＜t＜7時(shí)，QA=t，QP=﹣t2+t，

若△AOB與△AQP相似，

∴或，

∴或，

∴t1=0（舍），t2=或t3=0（舍），t4=1（舍）

當(dāng)t＞7時(shí)，QA=t，PQ=t2﹣t，

若△AOP與△AOB相似，

∴或，

∴或，

∴t5=0（舍）或t=或t7=0（舍）t8=13，

綜上述，t=或或13．