Question

【題目】探究題
（1）【證法回顧】
證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．
求證：DE∥BC，DE= BC．
證明：添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長(zhǎng)DE （D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)）到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF；請(qǐng)繼續(xù)完成證明過(guò)程：

（2）【問(wèn)題解決】
如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．
（3）【拓展研究】如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=3 ，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，延長(zhǎng)DE 到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF

在△ADE和△CFE中， ，

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A=∠ECF，AD=CF，

∴CF∥AB，

又∵AD=BD，

∴CF=BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，

∴DE∥BC，DE= BC．

故答案為：DE∥BC，DE= BC

（2）

如圖2，延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）

如圖3，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD= ，

∵∠ADC=120°，

∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，

∴△PDH為等腰直角三角形，

∴PD=PH=3，

∴PF=PD+DF=3+2=5，

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，

∴HF= ═

∴GF= ．

【解析】（1）利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA）進(jìn)而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結(jié)論；（3）先求出AG=HD= ，進(jìn)而判斷出△PDH為等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．