【題目】如圖,在△ABC中,D為AC上一點,且CD=CB,以BC為直徑作⊙O,交BD于點E,連接CE,過D作DF⊥AB于點F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若∠A=60°,DF= ,求⊙O的直徑BC的長.
【答案】
(1)
證明:∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠CBE=90°,
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE,
∴∠BCE=∠DCE,
即∠BCD=2∠BCE,
∵∠BCD=2∠ABD,
∴∠ABD=∠BCE,
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°,
∴CB⊥AB,
∵CB為直徑,
∴AB是⊙O的切線
(2)
解:∵∠A=60°,DF= ,
∴在Rt△AFD中,AF= = =1,
在Rt△BFD中,BF=DFtan60°= × =3,
∵DF⊥AB,CB⊥AB,
∴DF∥BC,
∴∠ADF=∠ACB,
∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ACB,
∴ ,
∴ = ,
∴CB=4 .
【解析】此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質以及相似三角形的判定與性質.注意證得△ADF∽△ACB是解此題的關鍵.
(1)由CD=CB,∠BCD=2∠ABD,可證得∠BCE=∠ABD,繼而求得∠ABC=90°,則可證得AB是⊙O的切線;(2)由∠A=60°,DF= ,可求得AF、BF的長,易證得△ADF∽△ACB,然后由相似三角形的對應邊成比例,求得答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將連續(xù)的奇數(shù) 1,3,5,7,9,…,排成如圖的數(shù)陣.
(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù) 15 有什么關系?
(2)設中間數(shù)為 a,用式子表示十字框中五個數(shù)之和;
(3)十字框中五個數(shù)之和能等于 2 005 嗎?若能,請寫出這五個數(shù);若不能, 說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,且AE=AB,將矩形沿直線EF折疊,點B恰好落在AD邊上的點P處,連接BP交EF于點Q,對于下列結論:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=3EQ;④△PBF是等邊三角形,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,過點E作EF∥AB,交BC于點F.
(1)求證:四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形DBEF是菱形?為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】OC把∠AOB分成兩部分且有下列兩個等式成立:
①∠AOC=直角+∠BOC;②∠BOC=平角-∠AOC,問∶
(1)OA與OB的位置關系怎樣?
(2)OC是否為∠AOB的平分線?并寫出判斷的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE,連接EB、FD,交點為G.
(1)當四邊形ABCD為正方形時(如圖1),EB和FD的數(shù)量關系是 ;
(2)當四邊形ABCD為矩形時(如圖2),EB和FD具有怎樣的數(shù)量關系?請加以證明;
(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變,請說明理由;如果不變,請在圖3中求出∠EGD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求證:CD⊥AB.
證明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定義)
∴DG∥AC( )
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠ (等量代換)
∴EF∥CD( )
∴∠AEF=∠ ( )
∵EF⊥AB(已知)
∴∠AEF=90°( )
∴∠ADC=90°( )
∴CD⊥AB( )
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