【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖所示,直線BC下方的拋物線上有一點P,過點p作PE⊥BC于點E,作PF平行于x軸交直線BC于點F,求△PEF周長的最大值;
(3)已知點M是拋物線的頂點,點N是y軸上一點,點Q是坐標平面內(nèi)一點,若點P是拋物線上一點,且位于拋物線的對稱軸右側(cè),是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形?若存在,直接寫出點P的橫坐標;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:把A(﹣1,0),B(3,0)兩點坐標代入拋物線y=ax2+bx﹣3,

得到 ,

解得 ,

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.


(2)解:如圖1中,連接PB、PC.設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴OB=OC,

∴∠OBC=45°,

∵PF∥OB,

∴∠PFE=∠OBC=45°,

∵PE⊥BC,

∴∠PEF=90°,

∴△PEF是等腰直角三角形,

∴PE最大時,△PEF的面積中點,此時△PBC的面積最大,

則有SPBC=SPOB+SPOC﹣SBOC= 3(﹣m2+2m+3)+ 3m﹣ =﹣ (m﹣ 2+ ,

∴m= 時,△PBC的面積最大,此時△PEF的面積也最大,

此時P( ,﹣ ),

∵直線BC的解析式為y=x﹣3,

∴F(﹣ ,﹣ ),

∴PF= ,

∵△PEF是等腰直角三角形,

∴EF=EP= ,

∴CPEF最大值= +


(3)解:①如圖2中,

當N與C重合時,點N關(guān)于對稱軸的對稱點P,此時思想MNQP是正方形,易知P(2,﹣3).點P橫坐標為2,

②如圖3中,當四邊形PMQN是正方形時,作PF⊥y軸于N,ME∥x軸,PE∥y軸.

易知△PFN≌△PEM,

∴PF=PE,設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),

∵M(1,﹣4),

∴m=m2﹣2m﹣3﹣(﹣4),

∴m= (舍棄),

∴P點橫坐標為

所以滿足條件的點P的橫坐標為2或


【解析】分析:(1)把A,B兩點坐標代入拋物線,即可求出此函數(shù)解析式。
(2)由B(3,0),C(0,﹣3)兩點坐標,可得出△OBC是等腰直角三角形,根據(jù)已知PE⊥BC,PF∥x軸,可證得△PEF是等腰直角三角形,則PE最大時,△PEF的面積中點,此時△PBC的面積最大,求出SPBC與m的函數(shù)關(guān)系式,求出其頂點坐標,即可得到△PBC的面積最大時m的值,再求出直線BC的解析式,即可求得點F的坐標,求出PF、EF、EP的長,即可△PEF周長的最大值。
(3)①當N與C重合時,點N關(guān)于對稱軸的對稱點P,此時思想MNQP是正方形,易知P點坐標;②當四邊形PMQN是正方形時,作PF⊥y軸于N,ME∥x軸,PE∥y軸.易知△PFN≌△PEM,得到F=PE,建立方程,求解即可得到滿足條件的點P的橫坐標。
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和軸對稱的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱,那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線;兩個圖形關(guān)于某直線對稱,如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A.12
B.10
C.8
D.6

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1)當t=1時,PD=2AC,請求出AP的長;

2)當t=2時,PD=2AC,請求出AP的長;

3)若CD運動到任一時刻時,總有PD=2AC,請求出AP的長;

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分組

49.559.5

59.569.5

69.579.5

79.589.5

89.5100.5

合計

頻數(shù)

2

20

16

4

50

頻率

0.04

0.16

0.40

0.32

1

1)頻數(shù)、頻率分布表中 ;

2)補全頻數(shù)分布直方圖;

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