Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)H（2，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在線段OC（端點(diǎn)除外）上是否存在一點(diǎn)N，直線NA交拋物線于另一點(diǎn)B，滿足BC＝BN？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P（﹣3，0）作直線交拋物線于點(diǎn)F、G，FM⊥x軸于M，GN⊥x軸于N，求PMPN的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+4．（2）（0，）．（3）25.

【解析】

（1）由點(diǎn)H的坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2+），根據(jù)點(diǎn)N，A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB及拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，D的縱坐標(biāo)相等，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其大于0且小于4的值即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)直線PF的解析式為y＝n（x+3）（n＞0），將其代入拋物線解析式中可求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出PM、PN的長(zhǎng)度，再將二者相乘即可得出求得．

（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，

將A（1，1）代入y＝a（x﹣2）2，得：1＝a×（1﹣2）2，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣4x+4＝4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜4）．

在圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，

∵BC＝BN，

∴CD＝ND，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2+）．

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m（k≠0），

將A（1，1）代入y＝kx+m，得：1＝k+m，

解得：k＝1﹣m，

∴直線AB的解析式為y＝（1﹣m）x+m．

聯(lián)立直線AB及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4﹣m，m2﹣4m+4）．

∵BD⊥y軸，

∴2+＝m2﹣4m+4，即2m2﹣9m+4＝0，

解得：m1＝，m2＝4（舍去），

∴存在符合題意得點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，）．

（3）設(shè)直線PF的解析式為y＝n（x+3）（n＞0），

將y＝n（x+3）代入y＝x2﹣4x+4，整理得：x2﹣（4+n）x+4﹣3n＝0，

解得：x1＝，x2＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0），

∴PM＝﹣（﹣3）＝，

PN＝﹣（﹣3）＝，

∴PMPN＝×＝25．