【題目】如圖甲,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,3),拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點B,且對稱軸是直線x=﹣

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)將圖甲中△ABO沿x軸向左平移到△DCE(如圖乙),當(dāng)四邊形ABCD是菱形時,請說明點C和點D都在該拋物線上;
(3)在(2)中,若點M是拋物線上的一個動點(點M不與點C、D重合),經(jīng)過點M作MN∥y軸交直線CD于N,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為t,MN的長度為l,求l與t之間的函數(shù)解析式,并求當(dāng)t為何值時,以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形.(參考公式:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(﹣ , ),對稱軸是直線x=﹣ .)

【答案】
(1)

解:由于拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點B(0,3),則 c=3;

∵拋物線的對稱軸 x=﹣ =﹣ ,

∴b=5a= ;

即拋物線的解析式:y= x2+ x+3.


(2)

解:∵A(4,0)、B(0,3),

∴OA=4,OB=3,AB= =5;

若四邊形ABCD是菱形,則BC=AD=AB=5,

∴C(﹣5,3)、D(﹣1,0).

將C(﹣5,3)代入y= x2+ x+3中,得: ×(﹣5)2+ ×(﹣5)+3=3,所以點C在拋物線上;

同理可證:點D也在拋物線上.


(3)

解:設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b,依題意,有:

,解得

∴直線CD:y=﹣ x﹣

由于MN∥y軸,設(shè) M(t, t2+ t+3),則 N(t,﹣ t﹣ );

② t<﹣5或t>﹣1時,l=MN=( t2+ t+3)﹣(﹣ t﹣ )= t2+ t+ ;

②﹣5<t<﹣1時,l=MN=(﹣ t﹣ )﹣( t2+ t+3)=﹣ t2 t﹣ ;

若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形,由于MN∥CE,則MN=CE=3,則有:

t2+ t+ =3,解得:t1=﹣3+2 ,t2=﹣3﹣2 ;

t2 t﹣ =3,解得:t=﹣3;

綜上,l=

且當(dāng)t=﹣3+2 ,t=﹣3﹣2 或﹣3時,以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形.


【解析】(1)拋物線y=ax2+bx+c中,(0,c)代表的是拋物線與y軸的交點,x=﹣ 是拋物線的對稱軸,據(jù)此確定待定系數(shù).(2)已知A、B點的坐標(biāo),由勾股定理能求出AB的長,若四邊形ABCD是菱形,那么AD=BC=AB,可據(jù)此求出C、D點的坐標(biāo),再代入拋物線的解析式中進行驗證即可.(3)在求l與t之間的函數(shù)解析式時,要分兩種情況:①拋物線在直線CD上方、②拋物線在直線CD下方;先根據(jù)直線CD與拋物線的解析式,表示出M、N的坐標(biāo),它們縱坐標(biāo)的差即為l的長,當(dāng)以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形時,由于CE∥MN∥y軸,那么CE必與MN相等,將CE長代入l、t的函數(shù)關(guān)系式中,即可求出符合條件的t的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求線段MN的長度;

(2)根據(jù)第(1)題的計算過程和結(jié)果,設(shè)AC+BC=a,其他條件不變,求MN的長度;

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x

﹣6

﹣5

3

4

y

1

1.2

﹣2

﹣1.5


(1)從所給出的幾個式子中選出一個你認(rèn)為滿足上表要求的函數(shù)表達(dá)式:;
(2)請說明你選擇這個函數(shù)表達(dá)式的理由.

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(2)若甲工程隊先做20天,乙工程隊再參加,兩個工程隊一起來完成剩余的工程,求共需多少天完成該工程任務(wù)?

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