Question

【題目】在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

（1）奮進(jìn)小組用圖1中的矩形紙片ABCD，按照如圖2所示的方式，將矩形紙片沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，則與重合部分的三角形的類型是________.

（2）勤學(xué)小組將圖2中的紙片展平，再次折疊，如圖3，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展平，則以點(diǎn)A、F、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．

（3）創(chuàng)新小組用圖4中的矩形紙片ABCD進(jìn)行操作，其中，，先沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置，交AD于點(diǎn)G，再按照如圖5所示的方式折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M．則EM的長(zhǎng)為________cm.

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形（或鈍角三角形）；（2）菱形，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）利用折疊的性質(zhì)和角平分線定義即可得出結(jié)論；
（2）利用四邊相等的四邊形是菱形即可得出結(jié)論；
（3）由勾股定理可求BD的長(zhǎng)，BG的長(zhǎng)，AG的長(zhǎng)，利用勾股定理和折疊的性質(zhì)可得到結(jié)果。

解：（1）等腰三角形（或鈍角三角形）．

提示：∵四邊形ABCD是矩形，

∴，

∴．

由折疊知，，

∴，

∴重合部分的三角形是等腰三角形.

（2）菱形．

理由：如圖，

連接AE、CF，設(shè)EF與AC的交點(diǎn)為M，

由折疊知，，，

∴，．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴以點(diǎn)A，F，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

（3）.

提示：∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，，，

∴.

在中，，

∴.

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴由勾股定理可得，

由折疊的性質(zhì)可知，

∵，

∴，

∴，

∴，設(shè)，則．

由勾股定理得，即，

解得，即.