Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于G，F兩點．若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為（　 ）

A. 3 B. 4 C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：作輔助線，構建全等三角形，證明△EMF≌△CMD，則EM=CM，利用勾股定理得：BD=，EC=，可得△EBG是等腰直角三角形，分別求EM=CM的長，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊中線的性質得MN的長．

詳解：連接FM、EM、CM，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，

∵EF∥BC，

∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，

∴EF=BC=DC，

∵∠BDC=∠ADC=45°，

∴△GFD是等腰直角三角形，

∵M是DG的中點，

∴FM=DM=MG，F(xiàn)M⊥DG，

∴∠GFM=∠CDM=45°，

∴△EMF≌△CMD，

∴EM=CM，

過M作MH⊥CD于H，

由勾股定理得：BD=，

EC=，

∵∠EBG=45°，

∴△EBG是等腰直角三角形，

∴EG=BE=4，

∴BG=4，

∴DM=，

∴MH=DH=1，

∴CH=61=5，

∴CM=EM=，

∵CE2=EM2+CM2，

∴∠EMC=90°，

∵N是EC的中點，

∴MN=EC=；

故選：D.