Question

【題目】如圖，在ABCD中，以點(diǎn)A為圓心AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B，F為圓心，大于BF的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若∠C＝60°，AE＝4，求菱形ABEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

（1）先利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出四邊形ABEF是平行四邊形，再利用兩鄰邊相等即可證明四邊形ABEF是菱形；

（2）連結(jié)BF，交AE于G,先利用菱形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值求出BF的長(zhǎng)度，然后利用菱形的面積公式即可求解．

解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB，

∵∠EAB＝∠EAF，

∴∠EAB＝∠AEB．

∴BE＝AB＝AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）如圖，連結(jié)BF，交AE于G．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD＝∠C＝60°，

∵四邊形ABEF 菱形，

∴BF⊥AE，AG＝EG＝ 2，∠BAG＝∠FAG＝ 30°，

∴BG＝FG＝AGtan30°＝2，

∴BF＝4，

∴菱形ABEF的面積＝．