Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動，點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運(yùn)動，當(dāng)點P到達(dá)點C時，點Q也停止運(yùn)動．設(shè)點P，Q運(yùn)動的時間為t秒．

（1）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，PQ∥CD？
（2）從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，△PQC為直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：當(dāng)PQ∥CD時，四邊形PDCB是平行四邊形，

此時PD=QC，

∴12﹣2t=t，

∴t=4．

∴當(dāng)t=4時，四邊形PQDC是平行四邊形．

（2）

過D點，DF⊥BC于F，

∴DF=AB=8．

FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，

①當(dāng)PQ⊥BC，

則BQ+CQ=18．即：2t+t=18，

∴t=6；

②當(dāng)QP⊥PC，此時P一定在DC上，

CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，

易知，△CDF∽△CQ2P1，

∴，

解得：t=，

③情形：當(dāng)PC⊥BC時，因∠DCB＜90°，此種情形不存在．

∴當(dāng)t=6或時，△PQC是直角三角形．

【解析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以PQDC為頂點的四邊形是平行四邊形．
（2）點P處可能為直角，點Q處也可能是直角，而后求解即可．
【考點精析】掌握勾股定理的逆定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．