【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于點(diǎn)P(n,2),與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)C,PB丄x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式;
(2)求證:點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn);
(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形,如果存在,說(shuō)明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x+1. (2)點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn). (3)存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形,點(diǎn)D(8,1)即為所求.
【解析】試題分析:(1)由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,可得AO=BO,再由A的坐標(biāo)求得B點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo),將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值,即可確定出反比例解析式,將A與P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值,確定出一次函數(shù)解析式;(2)由AO=BO,PB∥CO,即可證得結(jié)論 ;(3)假設(shè)存在這樣的D點(diǎn),使四邊形BCPD為菱形,過(guò)點(diǎn)C作CD平行于x軸,交PB于點(diǎn)E,交反比例函數(shù)y= 的圖象于點(diǎn)D,分別連結(jié)PD、BD,如圖所示,即可得點(diǎn)D(8,1), BP⊥CD,易證PB與CD互相垂直平分,即可得四邊形BCPD為菱形,從而得點(diǎn)D的坐標(biāo).
試題解析:
(1)∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴AO=BO,
∵A(-4,0),
∴B(4,0),
∴P(4,2),
把P(4,2)代入y=得m=8,
∴反比例函數(shù)的解析式:y=
把A(-4,0),P(4,2)代入y=kx+b
得: ,解得: ,
所以一次函數(shù)的解析式:y=x+1.
(2)∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴OA=OB
∵PB丄x軸于點(diǎn)B,
∴∠PBA=90°,
∵∠COA=90°,
∴PB∥CO,
∴點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn).
(3)存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形
∵點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn),
∴BC= ,
∴BC和PC是菱形的兩條邊
由y=x+1,可得點(diǎn)C(0,1),
過(guò)點(diǎn)C作CD平行于x軸,交PB于點(diǎn)E,交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)D,
分別連結(jié)PD、BD,
∴點(diǎn)D(8,1), BP⊥CD
∴PE=BE=1,
∴CE=DE=4,
∴PB與CD互相垂直平分,
∴四邊形BCPD為菱形.
∴點(diǎn)D(8,1)即為所求.
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B.10
C.8或10
D.12
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C.5x+1
D.﹣5x﹣1
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A.①②③⑤
B.①②③④
C.①②③④⑤
D.①②③
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