Question

在-次數(shù)學(xué)活動課上，老師出了-道題：

  (1)解方程x²-2x-3=0.

    巡視后老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們解此題的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。

  接著,老師請大家用自己熟悉的方法解第二道題：

  (2)解關(guān)于x的方程mx²+(m一3)x一3=0(m為常數(shù)，且m≠0).

    老師繼續(xù)巡視，及時觀察、點撥大家.再接著,老師將第二道題變式為第三道題：

(3)已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx²+(m-3)x-3(m為常數(shù)).

 ①求證：不論m為何值,此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點(設(shè)x軸上的定點為A，y軸上的定點為C)；   

  ②若m≠0時,設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為反B,當△ABC為銳角三角形時,求m的取值范圍；當△ABC為鈍角三角形時，觀察圖象，直接寫出m的取值范圍.

   請你也用自己熟悉的方法解上述三道題.   

Answer 1

解：（1）由x²－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x₁=1,x₂=3               …………3分

（2）方法一：由mx²+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0

∵m≠0, ∴x₁=－1,x₂=                                  …………3分

方法2：由公式法：

∴x₁=－1,x₂=

（3）①1°當m=0時，函數(shù)y= mx²+(m－3)x－3為y=－3x－3，令y=0,得x=－1

令x=0,則y=－3. ∴直線y=－3x－3過定點A（－1,0）,C（0，－3） …………2分

2°當m≠0時，函數(shù)y= mx²+(m－3)x－3為y=（x+1）·(mx－3)

∴拋物線y=（x+1）·(mx－3)恒過兩定點A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）

②當m>0時，由①可知拋物線開口向上，且過點A（－1，0）,C（0，－3）和

B（，0），                                                …………1分

觀察圖象，可知，當⊿ABC為Rt⊿時，

則⊿AOC∽⊿COB∴

∴∴3²=1×

∴OB=9.即B(9,0)

∴當.即：m＞

當m>時，⊿ABC為銳角三角形                               …………2分

②觀察圖象可知

當0<m<時，則B點在（9,0）的右邊時，∠ACB>90º,

當m<0且m≠－3時，點B在x軸的負半軸上，B與A不重合.

∴⊿ABC中的∠ABC>90º

∴⊿ABC是鈍角三角形.

∴當0<m<或m<0且m≠－3時，

⊿ABC為鈍角三角形                                         …………2分