精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖1.在菱形ABCD中,AB=2 ,tan∠ABC=2,∠BCD=α,點E從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動,設運動時間為t(秒),將線段CE繞點C順時針旋轉α度,得到對應線段CF,連接BD、EF,BD交EC、EF于點P、Q.

(1)求證:△ECF∽△BCD;
(2)當t為何值時,△ECF≌△BCD?
(3)當t為何值時,△EPQ是直角三角形?

【答案】
(1)

證明:菱形ABCD中,BC=CD,

由旋轉的性質可知,CE=CF,

= ,

又∵∠FCE=∠DCB=α,

∴△FCE∽△DCB


(2)

由(1)知,△FCE∽△DCB,

∴當CE=CB=CD時,△FCE≌△DCB;

①E、D重合,此時t=0;

②如圖,過點C作CM⊥AD,

當EM=MD時,EC=CD,

Rt△CMD中,MD=CDcos∠CDA=2 × =2,

∴t=ED=2MD=4,

∴當t=0或4時,△FCE≌△DCB


(3)

∵CE=CF,∴∠CEQ<90°.

①當∠EQD=90°時,

∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,

∴∠CBD=∠CEF,

∵∠BPC=∠EPQ,

∴∠BCP=∠EQP=90°.

在Rt△CDE中,∠CED=90°,

∵AB=CD=2 ,tan∠ABC=tan∠ADC=2,

∴DE=2,

∴t=2秒;

②當∠EPQ=90°時,

∵菱形ABCD對角線AC⊥BD,

∴EC和AC重合.

∴DE=2 ,

∴t=2 秒;

∴當t=2或者2 時,△APQ為直角三角形.


【解析】(1)根據對應邊成比例、夾角相等的兩個三角形相似證明;(2)根據全等三角形的性質、余弦的概念計算;(3)分∠EQD=90°、∠EPQ=90°兩種情況,根據正切的概念、菱形的性質解答.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似圖形的相關知識,掌握形狀相同,大小不一定相同(放大或縮。;判定:①平行;②兩角相等;③兩邊對應成比例,夾角相等;④三邊對應成比例.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】已知:在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,作BFCD,垂足為點F,BFAC交于點C,BGE=ADE.

(1)如圖1,求證:AD=CD;

(2)如圖2,BHABE的中線,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于ADE面積的2倍.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】先化簡,再求值

(1)[(x﹣y)2+(x+y)(x﹣y)]÷2x,其中x=3,y=1.5

(2)(+m﹣2)÷,其中m=﹣

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,A,B,C三點在同一條直線上.

(1)用上述字母表示的不同線段共有____條,它們是______________________;

(2)用上述字母表示的不同射線共有____條,它們是______________________

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形網格中的ABC,若小方格邊長為1,格點ABC(頂點是網格線交點的三角形)的頂點A,C的坐標分別為(﹣1,1),(0,﹣2),請你根據所學的知識.

(1)在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系;

(2)作出ABC關于y軸對稱的三角形A1B1C1

(3)判斷ABC的形狀,并求出ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】觀察下列兩個等式:3+2=3×2-1,4+=4×-1,給出定義如下:

我們稱使等式a+b=ab-1成立的一對有理數a,b為“椒江有理數對”,記為(a,b),如:數對(3,2),(4,)都是“椒江有理數對”.

(1)數對(-2,1),(5,)中是“椒江有理數對”的是 ;

(2)若(a,3)是“椒江有理數對”,求a的值;

(3)若(m,n)是“椒江有理數對”,則(-n,-m) “椒江有理數對”(填“是”、“不是”或“不確定”).

(4)請再寫出一對符合條件的“椒江有理數對” (注意:不能與題目中已有的“椒江有理數對”重復)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙O的半徑是2,AB是⊙O的弦,點P是弦AB上的動點,且1≤OP≤2,則弦AB所對的圓周角的度數是(
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.30°或150°

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】數學活動課上,老師準備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片長為a、寬為b的長方形.并用A種紙片一張,B種紙片張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1:   ;方法2:   

(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關系.   

(3)根據(2)題中的等量關系,解決如下問題:

①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;

②已知(2018﹣a)2+(a﹣2017)2=5,求(2018﹣a)(a﹣2017)的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】今年我市某公司分兩次采購了一批大蒜,第一次花費40萬元,第二次花費60萬元.已知第一次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格上漲了500元,第二次采購時每噸大蒜的價格比去年的平均價格下降了500元,第二次的采購數量是第一次采購數量的兩倍.
(1)試問去年每噸大蒜的平均價格是多少元?
(2)該公司可將大蒜加工成蒜粉或蒜片,若單獨加工成蒜粉,每天可加工8噸大蒜,每噸大蒜獲利1000元;若單獨加工成蒜片,每天可加工12噸大蒜,每噸大蒜獲利600元.由于出口需要,所有采購的大蒜必需在30天內加工完畢,且加工蒜粉的大蒜數量不少于加工蒜片的大蒜數量的一半,為獲得最大利潤,應將多少噸大蒜加工成蒜粉?最大利潤為多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案