【題目】如圖,點A是O直徑BD延長線上的一點,C在O上,AC=BC,AD=CD

(1)求證:AC是O的切線;

(2)若O的半徑為4,求ABC的面積.

【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、12

【解析】

試題分析:(1)、連接OC,根據(jù)AC=BC,AD=CD,OB=OC得出A=B=1=2,根據(jù)BD為直徑得出BCD=90°,從而說明ACO=90°,得出切線;(2)、首先根據(jù)題意得出DCO是等邊三角形,根據(jù)RtBCD的勾股定理得出BC的長度,作CEAB于點E,然后根據(jù)RtBEC的勾股定理得出CE的長度,然后求出ABC的面積.

試題解析:(1)、如圖,連接OC. AC=BC,AD=CD,OB=OC,∴∠A=B=1=2.

BD是直徑, ∴∠BCD=90°,∵∠ACO=DCO+2, ∴∠ACO=DCO+1=BCD,

∴∠ACO=90°, 又C在O上, AC是O的切線;

(2)、由題意可得DCO是等腰三角形, ∵∠CDO=A+2,DOC=B+1,

∴∠CDO=DOC,即DCO是等邊三角形. ∴∠A=B=1=2=30°,CD=AD=4,

在直角BCD中, 作CEAB于點E.在直角BEC中,B=30°,

CE=BC=, SABC=ABCE=×12×2=12

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