Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE．
（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE= ，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE垂直平分AC，

∴∠DEC=90°，AE=CE，

∴DC為△DEC外接圓的直徑，

取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，如圖，

∵∠ABC=90°，

∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴EB=EC，

∵∠C=30°，

∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，

∴∠BEO=90°，

∴OE⊥BE，

而OE為⊙O的半徑，

∴BE是△DEC外接圓的切線

（2）解：∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴AE=EC=BE= ，

∴AC=2 ，

∵∠ECD=∠BCA，

∴Rt△CED∽R(shí)t△CBA，

∴ ，

而CB=CD+BD=CD+1，

∴ = ，

解得CD=2或CD=﹣3（舍去），

∴△DEC外接圓的直徑為2

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑；取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，則∠EOD=2∠C=60°，可計(jì)算出∠BEO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由BE為Rt△ABC斜邊上的中線得到AE=EC=BE= ，易證得Rt△CED∽R(shí)t△CBA，則 ，然后利用相似比可計(jì)算出△DEC外接圓的直徑CD．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．