Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+15分別交x軸、y軸于點A，B，交直線y=x于點M．動點C在直線AB上以每秒3個單位的速度從點A向終點B運動，同時，動點D以每秒a個單位的速度從點0沿OA的方向運動，當點C到達終點B時，點D同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）求點A的坐標和AM的長．

（2）當t=5時，線段CD交OM于點P，且PC=PD，求a的值．

（3）在點C的整個運動過程中，

①直接用含t的代數(shù)式表示點C的坐標．

②利用（2）的結論，以C為直角頂點作等腰直角△CDE（點C，D，E按逆時針順序排列），當OM與△CDE的一邊平行時，求所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）A(20，0)，10；（2）2；（3）①，②或或4

【解析】

（1）在中，令，得點A坐標，聯(lián)立AB，OM解析式，求出點M坐標，過點M作軸垂線，垂足為G，由M坐標得出OG，MG，AG長度，由勾股定理可得結果．

（2）過點C作CQ軸交OM延長線與Q，證明△CPQ≌△DPO（AAS），得出CQ=OD，解出CQ長度即可．

（3）①作CK軸與K，由CK軸，得，解出CK，代入中，得．

②當OM于△CDE的一邊，分三種情況進行討論：當OMCD 時，用解得t值；當OMCE時，用CK=2DK解得t值；當OMDE時，證明△CDK≌△CEG，用DH=2EH解得t值．

解：（1）當y=0時，，解得：x=20

∴點A（20，0）；

∵兩直線相交于點M

∴，解得：

∴點M（12，6）

過點M作MG⊥OA于點G

∴OG=12，MG=6

∴AG=20-12=8

在Rt△AMG中，

;

（2）∵動點C在直線AB上以每秒3個單位的速度從點A向終點B運動，同時，動點D以每秒個單位的速度從點0沿OA的方向運動，

∴當t=5時則AC=15，OD=5，AB=25

點C（8，9）

過點C作CQ∥x軸交OM的延長線于點Q，

∴點Q（18，9）

∴CQ=18-8=10，

∵CQ∥x軸

∴∠G=∠DOP

在△CPQ和△DPO中，

∴△CPQ≌△DPO（AAS）

∴CQ=OD

即5=10，解之：=2.

（3）解：①過點C作CK⊥x軸于點K，

由題意可知AC=3t，AB=25，OB=15，

∴CK∥y軸，

∴△ACK∽△ABO

∴即

解之：

當時，則

解之：

∴點;

②由①可知CK= ， OK=

∵AC=3t，OD=2t，tan∠MOA=

當CD∥OM時，

即

解之：t=；

當CE∥OM時，

∴∠ECD=∠CPO=90°

∴∠DCK+∠CDK=∠DOP+∠CDK=90°

∴∠DCK=∠DOP

∴tan∠DCK=

∴CK=2DK

∴DK=OD-OK=

∴

解之：;

當DE∥OM時，過點E作EH⊥x軸于點H，過點C作CK⊥x軸于點K，過點C作CG∥x軸交HE于點G，

∵等腰直角△CDE

∴CD=CE

易證△CDK≌△CEG，

∴CK=CG=GH= ， ,

,

,

∵OM∥ED，

∴∠MOA=∠EDH，

∴DH=2EH

∴

解之：t=4.

∴t的值為或或4.