【題目】(1)(發(fā)現(xiàn)證明)
如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別是BC,CD邊上的動點,且∠EAF=45°,求證:EF=DF+BE.
小明發(fā)現(xiàn),當把△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合時能夠證明,請你給出證明過程.
(2)(類比引申)①如圖2,在正方形ABCD中,如果點E,F分別是CB,DC延長線上的動點,且∠EAF=45°,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?請寫出證明過程.
②如圖3,如果點E,F分別是BC,CD延長線上的動點,且∠EAF=45°,則EF,BE,DF之間的數(shù)量關系是 (不要求證明)
(3)(聯(lián)想拓展)如圖1,若正方形ABCD的邊長為6,AE=3,求AF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①不成立,結(jié)論:EF=DF﹣BE;證明見解析;②BE=EF+DF;(3)AF=.
【解析】
(1)【發(fā)現(xiàn)證明】
證明△EAF≌△GAF,可得出EF=FG,則結(jié)論得證;
(2)【類比引申】
①將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM根據(jù)SAS可證明△EAF≌△MAF,可得EF=FM,則結(jié)論得證;
②將△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABN,證明△AFE≌△ANE,可得出EF=EN,則結(jié)論得證;
(3)【聯(lián)想拓展】
求出DG=2,設DF=x,則EF=DG=x+3,CF=6﹣x,在Rt△EFC中,得出關于x的方程,解出x則可得解.
(1)【發(fā)現(xiàn)證明】
證明:把△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,如圖1,
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠FAD=45°,
∴∠DAG+∠FAD=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵AF=AF,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG=DF+DG,
∴EF=DF+BE;
(2)【類比引申】
①不成立,結(jié)論:EF=DF﹣BE;
證明:如圖2,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM,
∴∠EAB=∠MAD,AE=AM,∠EAM=90°,BE=DM,
∴∠FAM=45°=∠EAF,
∵AF=AF,
∴△EAF≌△MAF(SAS),
∴EF=FM=DF﹣DM=DF﹣BE;
②如圖3,將△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABN,
∴AN=AF,∠NAF=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠NAE=45°,
∴∠NAE=∠FAE,
∵AE=AE,
∴△AFE≌△ANE(SAS),
∴EF=EN,
∴BE=BN+NE=DF+EF.
即BE=EF+DF.
故答案為:BE=EF+DF.
(3)【聯(lián)想拓展】
解:由(1)可知AE=AG=3,
∵正方形ABCD的邊長為6,
∴DC=BC=AD=6,
∴==3.
∴BE=DG=3,
∴CE=BC﹣BE=6﹣3=3,
設DF=x,則EF=DG=x+3,CF=6﹣x,
在Rt△EFC中,∵CF2+CE2=EF2,
∴(6﹣x)2+32=(x+3)2,
解得:x=2.
∴DF=2,
∴AF===2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分別交BC、BD于點E、F,若CE=2,連接CF.以下結(jié)論:①∠BAF=∠BCF; ②點E到AB的距離是2; ③S△CDF:S△BEF=9:4; ④tan∠DCF=3/7. 其中正確的有()
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】為滿足市場需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn);當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒.
(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關系式;
(2)當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P(元)最大?最大利潤是多少?
(3)為穩(wěn)定物價,有關管理部門限定:這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒?
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【題目】4月24日《復仇者聯(lián)盟4》在中國大陸上映.我市江北UME影城為加大宣傳,決定在4月23日預售普通3D票400張和IMAX票100張,且預售中的IMAX的票價是普通3D票價的2倍.
(1)若影城的預售總額不低于21000元,則普通3D票的預售價格最少為多少元?
(2)影城計劃在上映當天推出普通3D票3200張,IMAX票800張.由于預售的火爆,影城決定將普通3D票的價格在(1)中最低價格的基礎上增加%,而IMAX票價在(1)中IMAX票價上增加了a元,結(jié)果普通3D票的銷售量比計劃少2a%.IMAX票的銷售量與計劃保持一致,最終實際銷售額與計劃銷售額相等,求a的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A1的坐標為(2,4),以點O為圓心,以OA1長為半徑畫弧,交直線y=x于點B1.過B1點作B1A2∥y軸,交直線y=2x于點A2,以O為圓心,以OA2長為半徑畫弧,交直線y=x于點B2;過點B2作B2A3∥y軸,交直線y=2x于點A3,以點O為圓心,以OA3長為半徑畫弧,交直線y=x于點B3;過B3點作B3A4∥y軸,交直線y=2x于點A4,以點O為圓心,以OA4長為半徑畫弧,交直線y=x于點B4,…按照如此規(guī)律進行下去,點B2020的坐標為_____.
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【題目】為了運送防疫物資,甲、乙兩貨運公司各派出一輛卡車,分別從距目的地240千米和270千米的兩地同時出發(fā),馳援疫區(qū).已知乙公司卡車的平均速度是甲公司卡車的平均速度的1.5倍,甲公司的卡車比乙公司的卡車晚1小時到達目的地,分別求甲、乙兩貨運公司卡車的平均速度.
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【題目】校車安全是近幾年社會關注的重大問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學數(shù)學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗:先在公路旁邊選取一點C,再在筆直的車道上確定點D,使CD與垂直,測得CD的長等于21米,在上點D的同側(cè)取點A、B,使∠CAD=300,∠CBD=600.
(1)求AB的長(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):);
(2)已知本路段對校車限速為40千米/小時,若測得某輛校車從A到B用時2秒,這輛校車是否超速?說明理由.
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【題目】如圖,直角梯形ABCO的兩邊OA,OC在坐標軸的正半軸上,BC∥x軸,OA=OC=4,以直線x=1為對稱軸的拋物線過A,B,C三點.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)已知直線的解析式為y=x+m,它與x軸交于點G,在梯形ABCO的一邊上取點P.
①當m=0時,如圖1,點P是拋物線對稱軸與BC的交點,過點P作PH⊥直線于點H,連結(jié)OP,試求△OPH的面積;
②當m=﹣3時,過點P分別作x軸、直線的垂線,垂足為點E,F(xiàn).是否在線段BC存在這樣的點P,使以P,E,F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于,兩點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線下方的拋物線上求點,求的面積等于20.
(3)若在拋物線上,作軸于點,若和相似,求點的坐標.
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