Question

【題目】對于兩個已知圖形G1、G2，在G1上任取一點P，在G2上任取一點Q，當線段PQ的長度最小時，我們稱這個最小長度為G1、G2的“密距”.例如，如上圖，，，，則點A與射線OC之間的“密距”為，點B與射線OC之間的“密距”為3，如果直線y＝x-1和雙曲線之間的“密距”為，則k值為（ ）

A. k=4 B. k=－4 C. k=6 D. k=－6

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：由題意設雙曲線上的D到直線的距離最近，過D作直線l和直線y=x-1的平行線，結合條件可求得l的解析式，聯(lián)立l與雙曲線解析式，則該方程組只有一組解，可求得k的值．

詳解：

根據(jù)“密距”的定義可知雙曲線圖象在二、四象限，且離第四象限最近，
設雙曲線上點D到直線y=x-1距離最近，如圖，設直線y=x-1與y軸交于點E，過D作直線y=x-1的平行線，交y軸于點G，過D作直線y=x-1的垂線，垂足為E，過E作EH⊥DG，垂足為H，

則由題意可知DF=EH=，

又∠OEF=45°，
∴∠EGH=45°，
∴EH=HG=，

∴EG=EH＝＝3，

又OE=1，

∴OG=4，

∴直線DG的解析式為y=x-4，

聯(lián)立直線DG和雙曲線解析式可得 ，消去y整理可得x2-4x-k=0，
∵直線DG與雙曲線只有一個交點，
∴方程x2-4x-k=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=0，即（-4）2+4k=0，解得k=-4，
故選B．