Question

如圖1～4所示，每個圖中的“7”字形是由若干個邊長相等的正方形拼接而成，“7”字形的一個頂點P落在反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象上，另“7”字形有兩個頂點落在x軸上，一個頂點落在y軸上．
（1）圖1中的每一個小正方形的面積是

1

3

；
（2）按照圖1→圖2→圖→圖4→…這樣的規(guī)律拼接下去，第n個圖形中每一個小正方形的面積是

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）作PA⊥y軸于A，圖中的“7”字形與坐標軸的交點分別為B、C、D，如圖1，設每一個小正方形的邊長為a，證得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，利用相似比得到

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

a

a

=1，再分別在在RtOBC和Rt△ABP中，利用勾股定理得到OB=

a

2

，AB=AP=

2

2

a，則P點坐標為（

2a

2

，

3a

2

），然后把P點坐標代入反比例函數(shù)解析式得到a²=

1

3

；
（2）對于如圖2、圖3、圖4利用同樣的方法可得到每一個小正方形的面積，然后把計算的結果進行變形，觀察其中的規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)第n個圖每一個小正方形的面積=

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．

解答：解：（1）作PA⊥y軸于A，圖中的“7”字形與坐標軸的交點分別為B、C、D，如圖1，
設每一個小正方形的邊長為a，
易證得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

a

a

=1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=OC，
∴OB=

a

2

，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB²+AP²=BP²=4a²，AB=AP，
∴AB=AP=

2

2

a，
∴OA=

3a

2

，
∴P點坐標為（

2a

2

，

3a

2

），
∴

2a

2

•

3a

2

=1，
∴a²=

1

3

；

（2）如圖2，同樣得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

2a

a

=2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB²+OC²=BC²=a²，OB=2OC，
∴OB=

2a

5

，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB²+AP²=BP²=9a²，AB=2AP，
∴AB=

3a

5

，AP=

6a

5

∴OA=

5a

5

，
∴P點坐標為（

6a

5

，

5a

5

），
∴

6a

5

•

5a

5

=1，
∴a²=

5

30

；
如圖3，易證得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

3a

a

=3，
同理可得a²=

10

84

；
如圖4，易證得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴

CE

OB

=

DE

OC

，

CE

AP

=

DE

AB

，
∴

OB

OC

=

AP

AB

=

CE

ED

=

4a

a

=4，
同理可得a²=

17

180

；
∵第1個圖每一個小正方形的面積=

1

3

=

2

2×3

=

12+1

1×(1+1)×(2+1)

；
第2個圖每一個小正方形的面積=

5

30

=

5

6×5

=

22+1

2×(2+1)×(2×2+1)

；
第3個圖每一個小正方形的面積=

10

12×7

=

32+1

3×(3+1)(2×3+1)

；
第4個圖每一個小正方形的面積=

17

180

=

17

4×5×9

=

42+1

4×(4+1)(2×4+1)

，
∴第n個圖每一個小正方形的面積=

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．
故答案為（1）

1

3

；（2）

n2+1

n(n+1)(2n+1)

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象的點的坐標滿足其函數(shù)解析式；熟練運用正方形的性質(zhì)、相似三角形的相似比和勾股定理進行計算．