Question

已知函數(shù)y=x²+（2m+1）x+m²-1，其中m為實數(shù)．
（1）當(dāng)m是什么數(shù)值時，y有最小值為0？
（2）求證：不論m是什么數(shù)值時，拋物線的頂點都在同一直線l上；
（3）求證：任何一條平行于l而與拋物線相交的直線被各拋物線截出的線段都相等．

Answer 1

分析：（1）運用頂點式求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，即可得出m的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，得出頂點坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，即可得出有關(guān)x，y的函數(shù)關(guān)系式，從而證明結(jié)論；
（3）利用根的判別式得出b的取值范圍，進(jìn)而求出方程的兩根，根據(jù)兩根之間距離得出答案．

解答：解：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴y=(x+

2m+1

2

)2-

4m+5

4

，
∴y的最小值為-

4m+5

4

，
∵y有最小值為0，
∴-

4m+5

4

=0，
∴m=-

5

4

；

（2）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（-

2m+1

2

，-

4m+5

4

），
∴x=-m-

1

2

，y=-m-

5

4

，
∴y=x-

3

4

∴不論m是什么數(shù)值時，拋物線的頂點都在同一直線y=x-

3

4

上；

（3）設(shè)直線y=x+b為任一平行于l的直線，
則y=x+b，y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴x²+2mx+m²-b-1=0，
∵△=（2m）²-4（m²-b-1）≥0，
∴b≥-1
即當(dāng)b≥-1時，直線l與拋物線相交，
當(dāng)b≥-1時，x=-m±

b+1

，
∴x1=-m+

b+1

，x2=-m-

b+1

，
∵直線l的k=1，
∴直線l被拋物線截出的線段長為：

2

(x1-x2)，
∴

2

[(-m+

b+1

)-(-m-

b+1

)]=2

2(b+1)

，
這與m無關(guān)，因此直線y=x+b被拋物線截出的線段都相等．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程根的判別式有機結(jié)合是難點內(nèi)容，應(yīng)正確的分析，求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)是中考中重點內(nèi)容同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．