已知函數(shù)y=x2-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A,直線y=x+a過點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)與a的值;
(2)是否在拋物線的對(duì)稱軸存在點(diǎn)C,在拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ABCD為平行四邊形?若存在求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說明理由;
(3)若(2)中的平行四邊形存在,則以點(diǎn)C為圓心,CD長為半徑的⊙C與直線AB有何位置關(guān)系?并請(qǐng)說明理由.
分析:(1)利用函數(shù)y=x2-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A,當(dāng)y=0,0=x2-4x,求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出a的值,再求出兩圖象交點(diǎn)坐標(biāo),即可得出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)利用平行四邊形的性質(zhì)得出C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求法得出CD=AB=3
2
,BC=
12+52
=
26
,AC=
22+22
=2
2
,即可得出AC⊥AB,進(jìn)而得出⊙C與直線AB相交.
解答:解:(1)∵函數(shù)y=x2-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A,
∴當(dāng)y=0,0=x2-4x,
解得:x1=0,x2=4,
故圖象與x軸交于A點(diǎn):(4,0),
將A點(diǎn)代入y=x+a,
得:0=4+a,
則a=-4,
將y=x-4與y=x2-4x聯(lián)立:
y=x-4
y=x2-4x

解得:
x1=1
y1=-3
,
x2=4
y2=0

故B的坐標(biāo)(1,-3),a=-4;

(2)存在.
如圖所示,假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,
因?yàn)锽C∥AD,BC=AD,又點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,-3),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,
所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4+1=5,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y=52-4×5=5,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-3+5=2,
即C(2,2),D(5,5);

(3)⊙C與直線AB相交.理由如下:
如圖所示,連接AC,
∵C(2,2),D(5,5),B(1,-3),A(4,0),
∴CD=AB=3
2
,BC=
12+52
=
26
,AC=
22+22
=2
2

∴CD2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴AC⊥AB,
∵AC=2
2
<3
2
,
因此⊙C與直線AB相交.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離求法,正確求出C,D兩點(diǎn)距離是解題關(guān)鍵.
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