【題目】如圖,AD是圓O的切線,切點為A,AB是圓O的弦。過點B作BC//AD,交圓O于點C,連接AC,過點C作CD//AB,交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且BCP=ACD。
(1)判斷直線PC與圓O的位置關(guān)系,并說明理由:
(2) 若AB=9,BC=6,求PC的長。
【答案】(1)直線PC與圓O相切(2)
【解析】解:(1)直線PC與圓O相切。理由如下::
如圖,連接CO并延長,交圓O于點N,連接BN,
∵AB//CD,∴BAC=ACD。
∵BAC=BNC,∴BNC=ACD。
∵BCP=ACD,∴BNC=BCP。
∵CN是圓O的直徑,∴CBN=90。
∴BNCBCN=90,∴BCPBCN=90。
∴PCO=90,即PCOC。
又∵點C在圓O上,∴直線PC與圓O相切。
(2)∵AD是圓O的切線,∴ADOA,即OAD=90。
∵BC//AD,∴OMC=180OAD=90,即OMBC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中,AMC=90,AC=AB=9,MC=BC=3,
由勾股定理,得。
設(shè)圓O的半徑為r,
在Rt△OMC中,OMC=90,OM=AMAO=,MC=3,OC=r,
由勾股定理,得OM 2MC 2=OC 2,即。解得。
在△OMC和△OCP中,∵OMC=OCP,MOC=COP,∴△OMC~△OCP。
∴,即。∴。
(1)過C點作直徑CE,連接EB,由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°,由AD∥BC得∠ACD=∠BAC,而
∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論。
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD,而BC∥AD,則AM⊥BC,根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=3,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)有AC=AB=9,在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM= 。設(shè)⊙O的半徑為r,則OC=r,OM=AM-r=,在Rt△OCM中,根據(jù)勾股定理計算出 ,從而由△OMC~△OCP得相似比可計算出PC。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)連接EF,求證:AD垂直平分EF.
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【題目】汶川地震發(fā)生后,全國人民抗震救災(zāi),眾志成城某地政府急災(zāi)民之所需,立即組織輛汽車,將三種救災(zāi)物資共噸一次性運(yùn)往災(zāi)區(qū),假設(shè)甲、乙,丙三種車型分別運(yùn)載三種物資,根據(jù)下表提供的信息解答下列問題:
車型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽車運(yùn)載量(噸/輛) |
(1)設(shè)裝運(yùn)品種物資的車輛數(shù)分別為試用含的代數(shù)式表示;
(2)據(jù)(1)中的表達(dá)式,試求三種物資各幾噸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點D,DE⊥BC,交BC于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如果CD=8,CE=6,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了開闊學(xué)生的視野,積極組織學(xué)生參加課外讀書活動,某讀書小組隨機(jī)抽取本校的部分學(xué)生,調(diào)查他們最喜愛的圖書類別(圖書分為文學(xué)類、文藝類、科普類、其他等四類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題
(1)被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 人;
(2)科普類圓心角度數(shù)為 度,補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)已知該校有1800名學(xué)生,估計全校最喜愛文學(xué)類圖書的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的兩條切線,C、D為切點.
(1)如圖1,求⊙O的半徑;
(2)如圖1,若點E是BC的中點,連接PE,求PE的長度;
(3)如圖2,若點M是BC邊上任意一點(不含B、C),以點M為直角頂點,在BC的上方作∠AMN=90°,交直線CP于點N,求證:AM=MN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列方程的特征及其解的特點.
①x+=-3的解為x1=-1,x2=-2;
②x+=-5的解為x1=-2,x2=-3;
③x+=-7的解為x1=-3,x2=-4.
解答下列問題:
(1)請你寫出一個符合上述特征的方程為________,其解為________;
(2)根據(jù)這類方程的特征,寫出第n個方程為________,其解為________;
(3)請利用(2)的結(jié)論,求關(guān)于x的方程x+=-2(n+2)(其中n為正整數(shù))的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與反比例函數(shù)的圖像交于點A,且點A的橫坐標(biāo)為1,點B是x軸正半軸上一點,且⊥.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點B的坐標(biāo);
(3)先在的內(nèi)部求作點P,使點P到的兩邊OA、OB的距離相等,且PA=PB.(不寫作法,保留作圖痕跡,在圖上標(biāo)注清楚點P)
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