Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上（如圖示）
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上一動點（A、B兩端點除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q，設線段PQ的長為l，點P的橫坐標為x，求出l與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點P的坐標，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意，設二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²，
由于直線y=x+2與y軸交于（0，2），
∴x=0，y=2
滿足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

（x-2）²；

（2）設P點坐標為：P（x，y），則Q點坐標為（x，

1

2

x²-2x+2）
依題意得，PQ=l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x2+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

，
求得點B的坐標為（6，8），
∴0＜x＜6；

（3）由（2）知P的橫坐標為0＜x＜6時，必有對應的點Q在拋物線上；
反之，Q的橫坐標為0＜x＜6時，在線段AB上必有一點P與之對應．
假設存在符合條件的點P，由題意得AM與PQ不會平行，
因此梯形的兩底只能是AP與MQ，
∵過點M（2，0）且平行AB的直線方程為y=x-2，
由

y=x-2 y= 1 2 (x-2)2

，
消去y得：x²-6x+8=0，即（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∵當x=2時，P點、Q點、M點 三點共線，與A點只能構成三角形，而不能構成梯形；
∴x=2這個解舍去．
∴過M點的直線與拋物線的另一交點為（4，2），
∵此交點橫坐標4，落在0＜x＜6范圍內，
∴Q的坐標為（4，2）時，P（4，6）符合條件，
即存在符合條件的點P，其坐標為（4，6），
設直線AB與x軸交于N，由條件可知，△ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=2

2

，
AP=PN-AN=6

2

-2

2

=4

2

，MQ=2

2

，
AM為梯形PQMA的高，
故S_梯形PQMA=

1

2

（2

2

+4

2

）•2

2

=12．