Question

5．如圖1，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的一點，AD=BC，連結DC．以DC為邊，在∠CDB的同側作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，連結AE．
（1）求證：△BDC≌△AED；并判斷AE和BC的位置關系，說明理由；
（2）若將題目中的條件“∠ABC=90°”改成“∠ABC=x°（0＜x＜180）”，
①結論“△BDC≌△AED”還成立嗎？請說明理由；
②試探索：當x的值為多少時，直線AE⊥BC．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到∠CBD=90°，根據全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性質得到∠A=∠CBD=90°，即可得到結論；
（2）①根據三角形外角的性質得∠C=∠ADE，根據全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；②如圖2，延長EA交BC于F，根據全等三角形的性質得到∠DBC=∠EAD然后根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）AE∥BC，
理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴∠CBD=90°，
∵∠EDA+∠BDC=90度，
∠DCB+∠BDC=90度，
∴∠DCB=∠EDA．
故在△BDC與△ADE中，BC=AD，∠DCB=∠EDA，CD=BE，
∴△BDC≌△ADE（SAS）
∴∠A=∠CBD=90°=∠ABC，
∴AE∥BC；

（2）①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°，
∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°，
∴∠C=∠ADE，
在△BDC與△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠C=∠ADE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AED；
②如圖2，延長EA交BC于F，
∵△BDC≌△AED，
∴∠DBC=∠EAD，
∴∠FAB=∠ABF，
∴當AE⊥BC時，
即∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠ABC=45°，
如圖3，同理得到∠ABC=135°，
∴當x=45或135°時，AE⊥BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定，等腰直角三角形的性質熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．