Question

（2012•婁底）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N．
（1）求證：△BMD∽△CNE；
（2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？
（3）設BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，∠B=30°，根據等邊對等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；
（2）首先過點M作MH⊥BC，設BD=x，由以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函數，即可求得答案；
（3）首先求得△ABC的面積，繼而求得△BDM的面積，然后由相似三角形的性質，可求得△CNE的面積，再利用二次函數的最值問題，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；

（2）解：過點M作MH⊥BC，
∵以M為圓心，以MH為半徑的圓，則與BC相切，
∴MH=MF，
設BD=x，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=

MH

MD

=

4-x

x

=

3

2

，
解得：x=16-8

3

，
∴當BD=16-8

3

時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；

（3）解：過點M作MH⊥BC于H，過點A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AK=

1

2

×8×

4 3

3

=

16 3

3

，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=

3

2

x，
∴S_△BDM=

1

2

•x•

3

2

x=

3

4

x²，
∵△DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S_△BDM：S_△CEN=（

BD

CE

）²=

x2

(4-x)2

，
∴S_△CEN=

3

4

（4-x）²，
∴y=S_△ABC-S_△CEN-S_△BDM=

16 3

3

-

3

4

x²-

3

4

（4-x）²=-

3

2

x²+2

3

x+

4 3

3

=-

3

2

（x-2）²+

10 3

3

（

4

3

＜x＜

8

3

），
當x=2時，y有最大值，最大值為

10 3

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的性質、二次函數的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想與方程思想的應用．