Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與y軸的交點為A，與x軸的正半軸分別交于點B（b，0），C（c，0）.

（1）當b=1時，求拋物線相應的函數表達式；

（2）當b=1時，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動點,過點E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點為P．求△APC面積的最大值；

（3）當c =b+ n.時，且n為正整數.線段BC（包括端點）上有且只有五個點的橫坐標是整數，求b的值.

Answer 1

【答案】(1)y=﹣6x+5；(2)當t=時，面積S有最大值；(3)1或．

【解析】試題分析：（1）當b=1時，將點B（1，0）代入拋物線y=﹣6mx+5中求出m，即可解決問題．

（2）如圖1中，直線AC與PE交于點F．切線直線AC的解析式，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

（3）分兩種情形①當b整數時，n為整數，可知n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個根，分別代入方程中求解即可，②當b小數時，n為整數，∴n=5，c=b+5為小數，則b，b+5是方程﹣6x+5=0的兩個根.

試題解析：（1）當b=1時，將點B（1，0）代入拋物線y=﹣6mx+5中，得m=1，

∴y=﹣6x+5；

（2）如圖1中，直線AC與PE交于點F．

當b=1時，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函數表達式為y=﹣x+5，

∵E（t，0），

∴P （t，﹣6t+5），直線l與AC的交點為F（t，﹣t+5），

∴PF=（﹣t+5）﹣（﹣6t+5）=+5t，

∴==，

∵＜0，

∴當t=時，面積S有最大值；

（3）①當b整數時，n為整數，

∴n=4，c=b+4．則b，b+4是方程﹣mx+5=0的兩個根，分別代入方程中，

得﹣mb+5=0①，②，

由①②可得+4b﹣5=0，解得b=1或﹣5（舍）；

或由一元二次方程根與系數的關系得 b（b+4）=5解得b=1或﹣5（舍）．

②當b小數時，n為整數，∴n=5，c=b+5為小數，則b，b+5是方程﹣mx+5=0的兩個根，同樣可得b=或（舍棄）；

∴b=1或．