Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2

5

，將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A₁B₁O，連接BB₁交x軸于點(diǎn)C．
（1）分別求出點(diǎn)A₁、B、B₁的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=3x²+bx+c經(jīng)過(guò)A₁，C兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PA₁C與△BOC相似（其中P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B）？若存在，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)可求出A₁點(diǎn)坐標(biāo)，先求出B點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而便可求出B₁點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再將A₁、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代y=3x²+bx+c入即可解得此拋物線的解析式；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的相似性便可求出另一個(gè)滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，注意不要漏解．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）由題意A（0，5）△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的A₁點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2-OB2

=

5

，
過(guò)B作BD⊥x軸于D點(diǎn)，
△ABO∽△ODB
∴

BD

OD

=

OB

AB

=

2 5

5

=2
OB=

OD2+BD2

=2

5

∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的B₁點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）；

（2）由連接BB₁交x軸于點(diǎn)C，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（

10

3

，0）．（6分）
因拋物線y=3x²+bx+c經(jīng)過(guò)A₁，C兩點(diǎn)，
則此拋物線的解析式為y=3(x-

10

3

)(x-5)；（8分）

（3）在x軸下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得△PA₁C與△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可證，
而B(niǎo)₁（4，-2）在拋物線y=3(x-

10

3

)(x-5)上，
∴P點(diǎn)即B₁點(diǎn)；（12分）
又由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)（4

1

3

，-2）也滿足條件．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形的相似等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．